Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6377 / 6025
↖ ↑ ↗
← S 64.339908°
E100.239258°		 ← 2 116 m → S 64.339908°
E100.283203°		 →
↑
2 115.30 m
↓
↑
2 115.30 m
↓
S 64.358931°
E100.239258°		 ← 2 114.54 m →
4 474 437 m²		 S 64.358931°
E100.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77850341796875 y=0.73553466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77850341796875 × 213)
    floor (0.77850341796875 × 8192)
    floor (6377.5)     		tx = 6377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73553466796875 × 213)
    floor (0.73553466796875 × 8192)
    floor (6025.5)     		ty = 6025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6377 / 6025 ti = "13/6377/6025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6377/6025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6377 ÷ 213
    6377 ÷ 8192     		x = 0.7784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6025 ÷ 213
    6025 ÷ 8192     		y = 0.7354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    0.556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74950509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47952446987341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74950509} λ = 1.74950509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47952446987341))-π/2
    2×atan(0.227745962704396)-π/2
    2×0.223926547134991-π/2
    0.447853094269982-1.57079632675     		φ = -1.12294323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74950509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12294323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.339908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6377 KachelY 6025 1.74950509 -1.12294323 100.239258 -64.339908
    Oben rechts KachelX + 1 6378 KachelY 6025 1.75027208 -1.12294323 100.283203 -64.339908
    Unten links KachelX 6377 KachelY + 1 6026 1.74950509 -1.12327525 100.239258 -64.358931
    Unten rechts KachelX + 1 6378 KachelY + 1 6026 1.75027208 -1.12327525 100.283203 -64.358931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12294323--1.12327525) × R
    0.000332020000000099 × 6371000     		dl = 2115.29942000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12294323--1.12327525) × R
    0.000332020000000099 × 6371000     		dr = 2115.29942000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74950509-1.75027208) × cos(-1.12294323) × R
    0.000766990000000023 × 0.433031360406481 × 6371000     		do = 2116.0048369859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74950509-1.75027208) × cos(-1.12327525) × R
    0.000766990000000023 × 0.43273206073632 × 6371000     		du = 2114.54231115596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12294323)-sin(-1.12327525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433031360406481-0.43273206073632)×R²
    abs(1.75027208-1.74950509)×0.000299299670160347×R²
    0.000766990000000023×0.000299299670160347×6371000²
    0.000766990000000023×0.000299299670160347×40589641000000     		ar = 4474437.00547788m²