Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63766 / 75538
↖ ↑ ↗
← S 26.475490°
W  4.861450°		 ← 273.34 m → S 26.475490°
W  4.858704°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
S 26.477948°
W  4.861450°		 ← 273.33 m →
74 724 m²		 S 26.477948°
W  4.858704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486499786376953 y=0.576313018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486499786376953 × 217)
    floor (0.486499786376953 × 131072)
    floor (63766.5)     		tx = 63766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576313018798828 × 217)
    floor (0.576313018798828 × 131072)
    floor (75538.5)     		ty = 75538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63766 / 75538 ti = "17/63766/75538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63766/75538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63766 ÷ 217
    63766 ÷ 131072     		x = 0.486495971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75538 ÷ 217
    75538 ÷ 131072     		y = 0.576309204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486495971679688 × 2 - 1) × π
    -0.027008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08484831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.152618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.479464869999802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08484831} λ = -0.08484831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479464869999802))-π/2
    2×atan(0.619114609977207)-π/2
    2×0.55435592589699-π/2
    1.10871185179398-1.57079632675     		φ = -0.46208447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08484831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.861450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46208447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.475490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63766 KachelY 75538 -0.08484831 -0.46208447 -4.861450 -26.475490
    Oben rechts KachelX + 1 63767 KachelY 75538 -0.08480038 -0.46208447 -4.858704 -26.475490
    Unten links KachelX 63766 KachelY + 1 75539 -0.08484831 -0.46212738 -4.861450 -26.477948
    Unten rechts KachelX + 1 63767 KachelY + 1 75539 -0.08480038 -0.46212738 -4.858704 -26.477948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46208447--0.46212738) × R
    4.29099999999516e-05 × 6371000     		dl = 273.379609999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46208447--0.46212738) × R
    4.29099999999516e-05 × 6371000     		dr = 273.379609999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08484831--0.08480038) × cos(-0.46208447) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895125155004995 × 6371000     		do = 273.337234436399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08484831--0.08480038) × cos(-0.46212738) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895106024262028 × 6371000     		du = 273.331392633891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46208447)-sin(-0.46212738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895125155004995-0.895106024262028)×R²
    abs(-0.08480038--0.08484831)×1.91307429669996e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91307429669996e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91307429669996e-05×40589641000000     		ar = 74724.0280452479m²