Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63762 / 75539
↖ ↑ ↗
← S 26.477948°
W  4.872437°		 ← 273.39 m → S 26.477948°
W  4.869690°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
S 26.480407°
W  4.872437°		 ← 273.38 m →
74 738 m²		 S 26.480407°
W  4.869690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486469268798828 y=0.576320648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486469268798828 × 217)
    floor (0.486469268798828 × 131072)
    floor (63762.5)     		tx = 63762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576320648193359 × 217)
    floor (0.576320648193359 × 131072)
    floor (75539.5)     		ty = 75539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63762 / 75539 ti = "17/63762/75539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63762/75539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63762 ÷ 217
    63762 ÷ 131072     		x = 0.486465454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75539 ÷ 217
    75539 ÷ 131072     		y = 0.576316833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486465454101562 × 2 - 1) × π
    -0.027069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08504006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576316833496094 × 2 - 1) × π
    -0.152633666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.479512806899422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08504006} λ = -0.08504006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479512806899422))-π/2
    2×atan(0.61908493225363)-π/2
    2×0.554334471363951-π/2
    1.1086689427279-1.57079632675     		φ = -0.46212738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08504006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.872437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46212738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.477948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63762 KachelY 75539 -0.08504006 -0.46212738 -4.872437 -26.477948
    Oben rechts KachelX + 1 63763 KachelY 75539 -0.08499212 -0.46212738 -4.869690 -26.477948
    Unten links KachelX 63762 KachelY + 1 75540 -0.08504006 -0.46217029 -4.872437 -26.480407
    Unten rechts KachelX + 1 63763 KachelY + 1 75540 -0.08499212 -0.46217029 -4.869690 -26.480407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46212738--0.46217029) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46212738--0.46217029) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08504006--0.08499212) × cos(-0.46212738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895106024262028 × 6371000     		do = 273.388419838667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08504006--0.08499212) × cos(-0.46217029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895086891870931 × 6371000     		du = 273.382576313958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46212738)-sin(-0.46217029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895106024262028-0.895086891870931)×R²
    abs(-0.08499212--0.08504006)×1.91323910970764e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91323910970764e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91323910970764e-05×40589641000000     		ar = 74738.0208552599m²