Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63760 / 27374
↖ ↑ ↗
← N 71.761911°
W  4.877929°		 ← 95.57 m → N 71.761911°
W  4.875183°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
N 71.761051°
W  4.877929°		 ← 95.57 m →
9 133 m²		 N 71.761051°
W  4.875183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486454010009766 y=0.208850860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486454010009766 × 217)
    floor (0.486454010009766 × 131072)
    floor (63760.5)     		tx = 63760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208850860595703 × 217)
    floor (0.208850860595703 × 131072)
    floor (27374.5)     		ty = 27374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63760 / 27374 ti = "17/63760/27374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63760/27374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63760 ÷ 217
    63760 ÷ 131072     		x = 0.4864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27374 ÷ 217
    27374 ÷ 131072     		y = 0.208847045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08513593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208847045898438 × 2 - 1) × π
    0.582305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82936796330058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08513593} λ = -0.08513593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82936796330058))-π/2
    2×atan(6.22994785824081)-π/2
    2×1.4116389724971-π/2
    2.82327794499419-1.57079632675     		φ = 1.25248162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08513593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.877929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25248162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.761911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63760 KachelY 27374 -0.08513593 1.25248162 -4.877929 71.761911
    Oben rechts KachelX + 1 63761 KachelY 27374 -0.08508800 1.25248162 -4.875183 71.761911
    Unten links KachelX 63760 KachelY + 1 27375 -0.08513593 1.25246662 -4.877929 71.761051
    Unten rechts KachelX + 1 63761 KachelY + 1 27375 -0.08508800 1.25246662 -4.875183 71.761051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25248162-1.25246662) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25248162-1.25246662) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08513593--0.08508800) × cos(1.25248162) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.312966374655306 × 6371000     		do = 95.5680474864879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08513593--0.08508800) × cos(1.25246662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.312980621083197 × 6371000     		du = 95.572397804629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25248162)-sin(1.25246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312966374655306-0.312980621083197)×R²
    abs(-0.08508800--0.08513593)×1.4246427891218e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.4246427891218e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.4246427891218e-05×40589641000000     		ar = 9133.1683270312m²