Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6376 / 6103
↖ ↑ ↗
← S 65.784758°
E100.195313°		 ← 2 004.27 m → S 65.784758°
E100.239258°		 →
↑
2 003.55 m
↓
↑
2 003.55 m
↓
S 65.802776°
E100.195313°		 ← 2 002.87 m →
4 014 259 m²		 S 65.802776°
E100.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77838134765625 y=0.74505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77838134765625 × 213)
    floor (0.77838134765625 × 8192)
    floor (6376.5)     		tx = 6376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74505615234375 × 213)
    floor (0.74505615234375 × 8192)
    floor (6103.5)     		ty = 6103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6376 / 6103 ti = "13/6376/6103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6376/6103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6376 ÷ 213
    6376 ÷ 8192     		x = 0.7783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6103 ÷ 213
    6103 ÷ 8192     		y = 0.7449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.489990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53934972059924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74873810} λ = 1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53934972059924))-π/2
    2×atan(0.214520554377924)-π/2
    2×0.211317852455931-π/2
    0.422635704911861-1.57079632675     		φ = -1.14816062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14816062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.784758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6376 KachelY 6103 1.74873810 -1.14816062 100.195313 -65.784758
    Oben rechts KachelX + 1 6377 KachelY 6103 1.74950509 -1.14816062 100.239258 -65.784758
    Unten links KachelX 6376 KachelY + 1 6104 1.74873810 -1.14847510 100.195313 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 6377 KachelY + 1 6104 1.74950509 -1.14847510 100.239258 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14816062--1.14847510) × R
    0.000314479999999895 × 6371000     		dl = 2003.55207999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14816062--1.14847510) × R
    0.000314479999999895 × 6371000     		dr = 2003.55207999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74873810-1.74950509) × cos(-1.14816062) × R
    0.000766990000000023 × 0.410165668652453 × 6371000     		do = 2004.27178765863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74873810-1.74950509) × cos(-1.14847510) × R
    0.000766990000000023 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 2002.87019719664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14816062)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410165668652453-0.409878839145317)×R²
    abs(1.74950509-1.74873810)×0.000286829507135211×R²
    0.000766990000000023×0.000286829507135211×6371000²
    0.000766990000000023×0.000286829507135211×40589641000000     		ar = 4014258.86238974m²