Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6376 / 10218
↖ ↑ ↗
← S 40.613952°
W 39.902344°		 ← 1 854.72 m → S 40.613952°
W 39.880371°		 →
↑
1 854.47 m
↓
↑
1 854.47 m
↓
S 40.630630°
W 39.902344°		 ← 1 854.26 m →
3 439 102 m²		 S 40.630630°
W 39.880371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389190673828125 y=0.623687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389190673828125 × 214)
    floor (0.389190673828125 × 16384)
    floor (6376.5)     		tx = 6376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623687744140625 × 214)
    floor (0.623687744140625 × 16384)
    floor (10218.5)     		ty = 10218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6376 / 10218 ti = "14/6376/10218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6376/10218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6376 ÷ 214
    6376 ÷ 16384     		x = 0.38916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10218 ÷ 214
    10218 ÷ 16384     		y = 0.6236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.69642728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.77696126904187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69642728} λ = -0.69642728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77696126904187))-π/2
    2×atan(0.459801102422945)-π/2
    2×0.430974567232504-π/2
    0.861949134465009-1.57079632675     		φ = -0.70884719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69642728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.902344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70884719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.613952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6376 KachelY 10218 -0.69642728 -0.70884719 -39.902344 -40.613952
    Oben rechts KachelX + 1 6377 KachelY 10218 -0.69604378 -0.70884719 -39.880371 -40.613952
    Unten links KachelX 6376 KachelY + 1 10219 -0.69642728 -0.70913827 -39.902344 -40.630630
    Unten rechts KachelX + 1 6377 KachelY + 1 10219 -0.69604378 -0.70913827 -39.880371 -40.630630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70884719--0.70913827) × R
    0.000291079999999999 × 6371000     		dl = 1854.47067999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70884719--0.70913827) × R
    0.000291079999999999 × 6371000     		dr = 1854.47067999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69642728--0.69604378) × cos(-0.70884719) × R
    0.000383499999999981 × 0.759112812393264 × 6371000     		do = 1854.7240135949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69642728--0.69604378) × cos(-0.70913827) × R
    0.000383499999999981 × 0.758923299064862 × 6371000     		du = 1854.26097975416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70884719)-sin(-0.70913827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759112812393264-0.758923299064862)×R²
    abs(-0.69604378--0.69642728)×0.000189513328401669×R²
    0.000383499999999981×0.000189513328401669×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189513328401669×40589641000000     		ar = 3439101.9856465m²