Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63758 / 27373
↖ ↑ ↗
← N 71.762770°
W  4.883423°		 ← 95.58 m → N 71.762770°
W  4.880676°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
N 71.761911°
W  4.883423°		 ← 95.59 m →
9 135 m²		 N 71.761911°
W  4.880676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486438751220703 y=0.208843231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486438751220703 × 217)
    floor (0.486438751220703 × 131072)
    floor (63758.5)     		tx = 63758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208843231201172 × 217)
    floor (0.208843231201172 × 131072)
    floor (27373.5)     		ty = 27373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63758 / 27373 ti = "17/63758/27373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63758/27373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63758 ÷ 217
    63758 ÷ 131072     		x = 0.486434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27373 ÷ 217
    27373 ÷ 131072     		y = 0.208839416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486434936523438 × 2 - 1) × π
    -0.027130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08523181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208839416503906 × 2 - 1) × π
    0.582321166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.8294159002002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08523181} λ = -0.08523181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8294159002002))-π/2
    2×atan(6.23024650978408)-π/2
    2×1.41164647364522-π/2
    2.82329294729044-1.57079632675     		φ = 1.25249662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08523181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25249662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.762770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63758 KachelY 27373 -0.08523181 1.25249662 -4.883423 71.762770
    Oben rechts KachelX + 1 63759 KachelY 27373 -0.08518387 1.25249662 -4.880676 71.762770
    Unten links KachelX 63758 KachelY + 1 27374 -0.08523181 1.25248162 -4.883423 71.761911
    Unten rechts KachelX + 1 63759 KachelY + 1 27374 -0.08518387 1.25248162 -4.880676 71.761911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25249662-1.25248162) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25249662-1.25248162) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08523181--0.08518387) × cos(1.25249662) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.312952128156997 × 6371000     		do = 95.583635326946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08523181--0.08518387) × cos(1.25248162) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.312966374655306 × 6371000     		du = 95.5879865742344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25249662)-sin(1.25248162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312952128156997-0.312966374655306)×R²
    abs(-0.08518387--0.08523181)×1.42464983088342e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.42464983088342e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.42464983088342e-05×40589641000000     		ar = 9134.6580238287m²