Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63757 / 75292
↖ ↑ ↗
← S 25.869109°
W  4.886169°		 ← 274.76 m → S 25.869109°
W  4.883423°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 25.871581°
W  4.886169°		 ← 274.76 m →
75 516 m²		 S 25.871581°
W  4.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486431121826172 y=0.574436187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486431121826172 × 217)
    floor (0.486431121826172 × 131072)
    floor (63757.5)     		tx = 63757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574436187744141 × 217)
    floor (0.574436187744141 × 131072)
    floor (75292.5)     		ty = 75292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63757 / 75292 ti = "17/63757/75292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63757/75292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63757 ÷ 217
    63757 ÷ 131072     		x = 0.486427307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75292 ÷ 217
    75292 ÷ 131072     		y = 0.574432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486427307128906 × 2 - 1) × π
    -0.0271453857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08527974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.14886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.467672392693268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08527974} λ = -0.08527974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467672392693268))-π/2
    2×atan(0.626458722498257)-π/2
    2×0.559647596687701-π/2
    1.1192951933754-1.57079632675     		φ = -0.45150113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08527974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.886169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45150113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.869109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63757 KachelY 75292 -0.08527974 -0.45150113 -4.886169 -25.869109
    Oben rechts KachelX + 1 63758 KachelY 75292 -0.08523181 -0.45150113 -4.883423 -25.869109
    Unten links KachelX 63757 KachelY + 1 75293 -0.08527974 -0.45154427 -4.886169 -25.871581
    Unten rechts KachelX + 1 63758 KachelY + 1 75293 -0.08523181 -0.45154427 -4.883423 -25.871581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45150113--0.45154427) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dl = 274.844940000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45150113--0.45154427) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dr = 274.844940000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08527974--0.08523181) × cos(-0.45150113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.899793148256046 × 6371000     		do = 274.762662331566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08527974--0.08523181) × cos(-0.45154427) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.899774324714962 × 6371000     		du = 274.756914336849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45150113)-sin(-0.45154427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899793148256046-0.899774324714962)×R²
    abs(-0.08523181--0.08527974)×1.88235410835125e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88235410835125e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88235410835125e-05×40589641000000     		ar = 75516.3375508539m²