Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63755 / 75295
↖ ↑ ↗
← S 25.876523°
W  4.891663°		 ← 274.80 m → S 25.876523°
W  4.888916°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
S 25.878994°
W  4.891663°		 ← 274.80 m →
75 510 m²		 S 25.878994°
W  4.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486415863037109 y=0.574459075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486415863037109 × 217)
    floor (0.486415863037109 × 131072)
    floor (63755.5)     		tx = 63755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574459075927734 × 217)
    floor (0.574459075927734 × 131072)
    floor (75295.5)     		ty = 75295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63755 / 75295 ti = "17/63755/75295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63755/75295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63755 ÷ 217
    63755 ÷ 131072     		x = 0.486412048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75295 ÷ 217
    75295 ÷ 131072     		y = 0.574455261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486412048339844 × 2 - 1) × π
    -0.0271759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08537562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574455261230469 × 2 - 1) × π
    -0.148910522460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.467816203392128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08537562} λ = -0.08537562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467816203392128))-π/2
    2×atan(0.626368637509316)-π/2
    2×0.55958289877707-π/2
    1.11916579755414-1.57079632675     		φ = -0.45163053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08537562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.891663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45163053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.876523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63755 KachelY 75295 -0.08537562 -0.45163053 -4.891663 -25.876523
    Oben rechts KachelX + 1 63756 KachelY 75295 -0.08532768 -0.45163053 -4.888916 -25.876523
    Unten links KachelX 63755 KachelY + 1 75296 -0.08537562 -0.45167366 -4.891663 -25.878994
    Unten rechts KachelX + 1 63756 KachelY + 1 75296 -0.08532768 -0.45167366 -4.888916 -25.878994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45163053--0.45167366) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45163053--0.45167366) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08537562--0.08532768) × cos(-0.45163053) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899736681337893 × 6371000     		do = 274.802741702749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08537562--0.08532768) × cos(-0.45167366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899717857138809 × 6371000     		du = 274.796992307814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45163053)-sin(-0.45167366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899736681337893-0.899717857138809)×R²
    abs(-0.08532768--0.08537562)×1.88241990833893e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88241990833893e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88241990833893e-05×40589641000000     		ar = 75509.8454711966m²