Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63754 / 75294
↖ ↑ ↗
← S 25.874052°
W  4.894409°		 ← 274.81 m → S 25.874052°
W  4.891663°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
S 25.876523°
W  4.894409°		 ← 274.80 m →
75 511 m²		 S 25.876523°
W  4.891663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486408233642578 y=0.574451446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486408233642578 × 217)
    floor (0.486408233642578 × 131072)
    floor (63754.5)     		tx = 63754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574451446533203 × 217)
    floor (0.574451446533203 × 131072)
    floor (75294.5)     		ty = 75294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63754 / 75294 ti = "17/63754/75294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63754/75294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63754 ÷ 217
    63754 ÷ 131072     		x = 0.486404418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75294 ÷ 217
    75294 ÷ 131072     		y = 0.574447631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486404418945312 × 2 - 1) × π
    -0.027191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08542356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574447631835938 × 2 - 1) × π
    -0.148895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.467768266492508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08542356} λ = -0.08542356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467768266492508))-π/2
    2×atan(0.626398664399509)-π/2
    2×0.559604464296148-π/2
    1.1192089285923-1.57079632675     		φ = -0.45158740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08542356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45158740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.874052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63754 KachelY 75294 -0.08542356 -0.45158740 -4.894409 -25.874052
    Oben rechts KachelX + 1 63755 KachelY 75294 -0.08537562 -0.45158740 -4.891663 -25.874052
    Unten links KachelX 63754 KachelY + 1 75295 -0.08542356 -0.45163053 -4.894409 -25.876523
    Unten rechts KachelX + 1 63755 KachelY + 1 75295 -0.08537562 -0.45163053 -4.891663 -25.876523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45158740--0.45163053) × R
    4.31299999999468e-05 × 6371000     		dl = 274.781229999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45158740--0.45163053) × R
    4.31299999999468e-05 × 6371000     		dr = 274.781229999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08542356--0.08537562) × cos(-0.45158740) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899755503863289 × 6371000     		do = 274.808490586497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08542356--0.08537562) × cos(-0.45163053) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899736681337893 × 6371000     		du = 274.802741702749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45158740)-sin(-0.45163053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899755503863289-0.899736681337893)×R²
    abs(-0.08537562--0.08542356)×1.88225253959784e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88225253959784e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88225253959784e-05×40589641000000     		ar = 75511.4252267229m²