Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63752 / 75096
↖ ↑ ↗
← S 25.383735°
W  4.899902°		 ← 275.94 m → S 25.383735°
W  4.897156°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.386217°
W  4.899902°		 ← 275.93 m →
76 139 m²		 S 25.386217°
W  4.897156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486392974853516 y=0.572940826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486392974853516 × 217)
    floor (0.486392974853516 × 131072)
    floor (63752.5)     		tx = 63752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572940826416016 × 217)
    floor (0.572940826416016 × 131072)
    floor (75096.5)     		ty = 75096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63752 / 75096 ti = "17/63752/75096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63752/75096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63752 ÷ 217
    63752 ÷ 131072     		x = 0.48638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75096 ÷ 217
    75096 ÷ 131072     		y = 0.57293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08551943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08551943} λ = -0.08551943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458276760367737))-π/2
    2×atan(0.632372436358401)-π/2
    2×0.563883285078767-π/2
    1.12776657015753-1.57079632675     		φ = -0.44302976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08551943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44302976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.383735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63752 KachelY 75096 -0.08551943 -0.44302976 -4.899902 -25.383735
    Oben rechts KachelX + 1 63753 KachelY 75096 -0.08547149 -0.44302976 -4.897156 -25.383735
    Unten links KachelX 63752 KachelY + 1 75097 -0.08551943 -0.44307307 -4.899902 -25.386217
    Unten rechts KachelX + 1 63753 KachelY + 1 75097 -0.08547149 -0.44307307 -4.897156 -25.386217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44302976--0.44307307) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44302976--0.44307307) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08551943--0.08547149) × cos(-0.44302976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903457018284435 × 6371000     		do = 275.939028367696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08551943--0.08547149) × cos(-0.44307307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903438451363203 × 6371000     		du = 275.933357552039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44302976)-sin(-0.44307307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903457018284435-0.903438451363203)×R²
    abs(-0.08547149--0.08551943)×1.85669212315887e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85669212315887e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85669212315887e-05×40589641000000     		ar = 76138.52462232m²