Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63750 / 27402
↖ ↑ ↗
← N 71.737827°
W  4.905395°		 ← 95.69 m → N 71.737827°
W  4.902649°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 71.736966°
W  4.905395°		 ← 95.69 m →
9 163 m²		 N 71.736966°
W  4.902649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486377716064453 y=0.209064483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486377716064453 × 217)
    floor (0.486377716064453 × 131072)
    floor (63750.5)     		tx = 63750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209064483642578 × 217)
    floor (0.209064483642578 × 131072)
    floor (27402.5)     		ty = 27402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63750 / 27402 ti = "17/63750/27402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63750/27402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63750 ÷ 217
    63750 ÷ 131072     		x = 0.486373901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27402 ÷ 217
    27402 ÷ 131072     		y = 0.209060668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486373901367188 × 2 - 1) × π
    -0.027252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08561530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209060668945312 × 2 - 1) × π
    0.581878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82802573011122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08561530} λ = -0.08561530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82802573011122))-π/2
    2×atan(6.22159142485318)-π/2
    2×1.41142880163955-π/2
    2.82285760327911-1.57079632675     		φ = 1.25206128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08561530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.905395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25206128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.737827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63750 KachelY 27402 -0.08561530 1.25206128 -4.905395 71.737827
    Oben rechts KachelX + 1 63751 KachelY 27402 -0.08556737 1.25206128 -4.902649 71.737827
    Unten links KachelX 63750 KachelY + 1 27403 -0.08561530 1.25204625 -4.905395 71.736966
    Unten rechts KachelX + 1 63751 KachelY + 1 27403 -0.08556737 1.25204625 -4.902649 71.736966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25206128-1.25204625) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25206128-1.25204625) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08561530--0.08556737) × cos(1.25206128) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.313365570881852 × 6371000     		do = 95.6899468565943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08561530--0.08556737) × cos(1.25204625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.313379843823991 × 6371000     		du = 95.6943052711801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25206128)-sin(1.25204625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313365570881852-0.313379843823991)×R²
    abs(-0.08556737--0.08561530)×1.42729421394594e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.42729421394594e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.42729421394594e-05×40589641000000     		ar = 9163.10766348717m²