Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6375 / 6109
↖ ↑ ↗
← S 65.892680°
E100.151367°		 ← 1 995.87 m → S 65.892680°
E100.195313°		 →
↑
1 995.21 m
↓
↑
1 995.21 m
↓
S 65.910623°
E100.151367°		 ← 1 994.48 m →
3 980 786 m²		 S 65.910623°
E100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77825927734375 y=0.74578857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77825927734375 × 213)
    floor (0.77825927734375 × 8192)
    floor (6375.5)     		tx = 6375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74578857421875 × 213)
    floor (0.74578857421875 × 8192)
    floor (6109.5)     		ty = 6109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6375 / 6109 ti = "13/6375/6109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6375/6109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6375 ÷ 213
    6375 ÷ 8192     		x = 0.7781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6109 ÷ 213
    6109 ÷ 8192     		y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74797111} λ = 1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675     		φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6375 KachelY 6109 1.74797111 -1.15004422 100.151367 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 6376 KachelY 6109 1.74873810 -1.15004422 100.195313 -65.892680
    Unten links KachelX 6375 KachelY + 1 6110 1.74797111 -1.15035739 100.151367 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 6376 KachelY + 1 6110 1.74873810 -1.15035739 100.195313 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15004422--1.15035739) × R
    0.000313169999999863 × 6371000     		dl = 1995.20606999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15004422--1.15035739) × R
    0.000313169999999863 × 6371000     		dr = 1995.20606999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74797111-1.74873810) × cos(-1.15004422) × R
    0.000766990000000023 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 1995.87390627674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74797111-1.74873810) × cos(-1.15035739) × R
    0.000766990000000023 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 1994.47697529481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.40816120209893)×R²
    abs(1.74873810-1.74797111)×0.000285875964422533×R²
    0.000766990000000023×0.000285875964422533×6371000²
    0.000766990000000023×0.000285875964422533×40589641000000     		ar = 3980786.1827016m²