Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63749 / 75101
↖ ↑ ↗
← S 25.396142°
W  4.908142°		 ← 275.91 m → S 25.396142°
W  4.905395°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.398623°
W  4.908142°		 ← 275.90 m →
76 113 m²		 S 25.398623°
W  4.905395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486370086669922 y=0.572978973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486370086669922 × 217)
    floor (0.486370086669922 × 131072)
    floor (63749.5)     		tx = 63749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572978973388672 × 217)
    floor (0.572978973388672 × 131072)
    floor (75101.5)     		ty = 75101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63749 / 75101 ti = "17/63749/75101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63749/75101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63749 ÷ 217
    63749 ÷ 131072     		x = 0.486366271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75101 ÷ 217
    75101 ÷ 131072     		y = 0.572975158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486366271972656 × 2 - 1) × π
    -0.0272674560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08566324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572975158691406 × 2 - 1) × π
    -0.145950317382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.458516444865837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08566324} λ = -0.08566324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458516444865837))-π/2
    2×atan(0.632220884651403)-π/2
    2×0.563775018320621-π/2
    1.12755003664124-1.57079632675     		φ = -0.44324629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08566324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.908142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44324629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.396142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63749 KachelY 75101 -0.08566324 -0.44324629 -4.908142 -25.396142
    Oben rechts KachelX + 1 63750 KachelY 75101 -0.08561530 -0.44324629 -4.905395 -25.396142
    Unten links KachelX 63749 KachelY + 1 75102 -0.08566324 -0.44328959 -4.908142 -25.398623
    Unten rechts KachelX + 1 63750 KachelY + 1 75102 -0.08561530 -0.44328959 -4.905395 -25.398623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44324629--0.44328959) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44324629--0.44328959) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08566324--0.08561530) × cos(-0.44324629) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903364175309809 × 6371000     		do = 275.910671733467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08566324--0.08561530) × cos(-0.44328959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903345604205692 × 6371000     		du = 275.904999640249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44324629)-sin(-0.44328959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903364175309809-0.903345604205692)×R²
    abs(-0.08561530--0.08566324)×1.85711041175152e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85711041175152e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85711041175152e-05×40589641000000     		ar = 76113.1219681474m²