Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63744 / 75149
↖ ↑ ↗
← S 25.515179°
W  4.921875°		 ← 275.58 m → S 25.515179°
W  4.919129°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
S 25.517657°
W  4.921875°		 ← 275.57 m →
75 952 m²		 S 25.517657°
W  4.919129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486331939697266 y=0.573345184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486331939697266 × 217)
    floor (0.486331939697266 × 131072)
    floor (63744.5)     		tx = 63744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573345184326172 × 217)
    floor (0.573345184326172 × 131072)
    floor (75149.5)     		ty = 75149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63744 / 75149 ti = "17/63744/75149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63744/75149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63744 ÷ 217
    63744 ÷ 131072     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75149 ÷ 217
    75149 ÷ 131072     		y = 0.573341369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573341369628906 × 2 - 1) × π
    -0.146682739257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.4608174160476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4608174160476))-π/2
    2×atan(0.630767834969128)-π/2
    2×0.562736224241078-π/2
    1.12547244848216-1.57079632675     		φ = -0.44532388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44532388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.515179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63744 KachelY 75149 -0.08590292 -0.44532388 -4.921875 -25.515179
    Oben rechts KachelX + 1 63745 KachelY 75149 -0.08585499 -0.44532388 -4.919129 -25.515179
    Unten links KachelX 63744 KachelY + 1 75150 -0.08590292 -0.44536714 -4.921875 -25.517657
    Unten rechts KachelX + 1 63745 KachelY + 1 75150 -0.08585499 -0.44536714 -4.919129 -25.517657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44532388--0.44536714) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44532388--0.44536714) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08585499) × cos(-0.44532388) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.902471201359156 × 6371000     		do = 275.5804380635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08585499) × cos(-0.44536714) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.902452566261261 × 6371000     		du = 275.574747612177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44532388)-sin(-0.44536714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902471201359156-0.902452566261261)×R²
    abs(-0.08585499--0.08590292)×1.86350978959027e-05×R²
    4.79299999999877e-05×1.86350978959027e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.86350978959027e-05×40589641000000     		ar = 75951.7915619608m²