Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6374 / 6102
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E100.107422°		 ← 2 005.67 m → S 65.766727°
E100.151367°		 →
↑
2 004.95 m
↓
↑
2 004.95 m
↓
S 65.784758°
E100.107422°		 ← 2 004.27 m →
4 019 878 m²		 S 65.784758°
E100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77813720703125 y=0.74493408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77813720703125 × 213)
    floor (0.77813720703125 × 8192)
    floor (6374.5)     		tx = 6374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74493408203125 × 213)
    floor (0.74493408203125 × 8192)
    floor (6102.5)     		ty = 6102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6374 / 6102 ti = "13/6374/6102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6374/6102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6374 ÷ 213
    6374 ÷ 8192     		x = 0.778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6102 ÷ 213
    6102 ÷ 8192     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778076171875 × 2 - 1) × π
    0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74720412} λ = 1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6374 KachelY 6102 1.74720412 -1.14784592 100.107422 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 6375 KachelY 6102 1.74797111 -1.14784592 100.151367 -65.766727
    Unten links KachelX 6374 KachelY + 1 6103 1.74720412 -1.14816062 100.107422 -65.784758
    Unten rechts KachelX + 1 6375 KachelY + 1 6103 1.74797111 -1.14816062 100.151367 -65.784758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14816062) × R
    0.000314700000000112 × 6371000     		dl = 2004.95370000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14816062) × R
    0.000314700000000112 × 6371000     		dr = 2004.95370000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74720412-1.74797111) × cos(-1.14784592) × R
    0.000766990000000023 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 2005.67416020193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74720412-1.74797111) × cos(-1.14816062) × R
    0.000766990000000023 × 0.410165668652453 × 6371000     		du = 2004.27178765863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14816062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.410165668652453)×R²
    abs(1.74797111-1.74720412)×0.000286989556736506×R²
    0.000766990000000023×0.000286989556736506×6371000²
    0.000766990000000023×0.000286989556736506×40589641000000     		ar = 4019878.01565904m²