Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63736 / 75286
↖ ↑ ↗
← S 25.854280°
W  4.943848°		 ← 274.85 m → S 25.854280°
W  4.941101°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 25.856752°
W  4.943848°		 ← 274.85 m →
75 542 m²		 S 25.856752°
W  4.941101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486270904541016 y=0.574390411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486270904541016 × 217)
    floor (0.486270904541016 × 131072)
    floor (63736.5)     		tx = 63736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574390411376953 × 217)
    floor (0.574390411376953 × 131072)
    floor (75286.5)     		ty = 75286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63736 / 75286 ti = "17/63736/75286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63736/75286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63736 ÷ 217
    63736 ÷ 131072     		x = 0.48626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75286 ÷ 217
    75286 ÷ 131072     		y = 0.574386596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08628642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.148773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.467384771295548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08628642} λ = -0.08628642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467384771295548))-π/2
    2×atan(0.626638931346355)-π/2
    2×0.559777004687318-π/2
    1.11955400937464-1.57079632675     		φ = -0.45124232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08628642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45124232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.854280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63736 KachelY 75286 -0.08628642 -0.45124232 -4.943848 -25.854280
    Oben rechts KachelX + 1 63737 KachelY 75286 -0.08623848 -0.45124232 -4.941101 -25.854280
    Unten links KachelX 63736 KachelY + 1 75287 -0.08628642 -0.45128546 -4.943848 -25.856752
    Unten rechts KachelX + 1 63737 KachelY + 1 75287 -0.08623848 -0.45128546 -4.941101 -25.856752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45124232--0.45128546) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dl = 274.844940000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45124232--0.45128546) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dr = 274.844940000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08628642--0.08623848) × cos(-0.45124232) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899906041252864 × 6371000     		do = 274.854468580105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08628642--0.08623848) × cos(-0.45128546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899887227758553 × 6371000     		du = 274.848722454684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45124232)-sin(-0.45128546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899906041252864-0.899887227758553)×R²
    abs(-0.08623848--0.08628642)×1.88134943107654e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88134943107654e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88134943107654e-05×40589641000000     		ar = 75541.5702906707m²