Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63735 / 75090
↖ ↑ ↗
← S 25.368846°
W  4.946594°		 ← 275.97 m → S 25.368846°
W  4.943848°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.371327°
W  4.946594°		 ← 275.97 m →
76 148 m²		 S 25.371327°
W  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486263275146484 y=0.572895050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486263275146484 × 217)
    floor (0.486263275146484 × 131072)
    floor (63735.5)     		tx = 63735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572895050048828 × 217)
    floor (0.572895050048828 × 131072)
    floor (75090.5)     		ty = 75090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63735 / 75090 ti = "17/63735/75090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63735/75090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63735 ÷ 217
    63735 ÷ 131072     		x = 0.486259460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75090 ÷ 217
    75090 ÷ 131072     		y = 0.572891235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486259460449219 × 2 - 1) × π
    -0.0274810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08633436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.145782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.457989138970016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08633436} λ = -0.08633436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.457989138970016))-π/2
    2×atan(0.632554346361777)-π/2
    2×0.564013219872833-π/2
    1.12802643974567-1.57079632675     		φ = -0.44276989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08633436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.946594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44276989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.368846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63735 KachelY 75090 -0.08633436 -0.44276989 -4.946594 -25.368846
    Oben rechts KachelX + 1 63736 KachelY 75090 -0.08628642 -0.44276989 -4.943848 -25.368846
    Unten links KachelX 63735 KachelY + 1 75091 -0.08633436 -0.44281320 -4.946594 -25.371327
    Unten rechts KachelX + 1 63736 KachelY + 1 75091 -0.08628642 -0.44281320 -4.943848 -25.371327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44276989--0.44281320) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44276989--0.44281320) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08633436--0.08628642) × cos(-0.44276989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903568388507079 × 6371000     		do = 275.973043700361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08633436--0.08628642) × cos(-0.44281320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903549831754751 × 6371000     		du = 275.967375990549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44276989)-sin(-0.44281320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903568388507079-0.903549831754751)×R²
    abs(-0.08628642--0.08633436)×1.85567523279806e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85567523279806e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85567523279806e-05×40589641000000     		ar = 76147.9108339221m²