Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63734 / 75089
↖ ↑ ↗
← S 25.366364°
W  4.949341°		 ← 275.92 m → S 25.366364°
W  4.946594°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
S 25.368846°
W  4.949341°		 ← 275.92 m →
76 151 m²		 S 25.368846°
W  4.946594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486255645751953 y=0.572887420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486255645751953 × 217)
    floor (0.486255645751953 × 131072)
    floor (63734.5)     		tx = 63734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572887420654297 × 217)
    floor (0.572887420654297 × 131072)
    floor (75089.5)     		ty = 75089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63734 / 75089 ti = "17/63734/75089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63734/75089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63734 ÷ 217
    63734 ÷ 131072     		x = 0.486251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75089 ÷ 217
    75089 ÷ 131072     		y = 0.572883605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486251831054688 × 2 - 1) × π
    -0.027496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08638229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572883605957031 × 2 - 1) × π
    -0.145767211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.457941202070396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08638229} λ = -0.08638229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.457941202070396))-π/2
    2×atan(0.632584669782782)-π/2
    2×0.564034877228828-π/2
    1.12806975445766-1.57079632675     		φ = -0.44272657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08638229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.949341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44272657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.366364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63734 KachelY 75089 -0.08638229 -0.44272657 -4.949341 -25.366364
    Oben rechts KachelX + 1 63735 KachelY 75089 -0.08633436 -0.44272657 -4.946594 -25.366364
    Unten links KachelX 63734 KachelY + 1 75090 -0.08638229 -0.44276989 -4.949341 -25.368846
    Unten rechts KachelX + 1 63735 KachelY + 1 75090 -0.08633436 -0.44276989 -4.946594 -25.368846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44272657--0.44276989) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dl = 275.991720000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44272657--0.44276989) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dr = 275.991720000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08638229--0.08633436) × cos(-0.44272657) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903586947848581 × 6371000     		do = 275.921144676556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08638229--0.08633436) × cos(-0.44276989) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903568388507079 × 6371000     		du = 275.91547735836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44272657)-sin(-0.44276989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903586947848581-0.903568388507079)×R²
    abs(-0.08633436--0.08638229)×1.85593415015228e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85593415015228e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85593415015228e-05×40589641000000     		ar = 76151.1692490769m²