Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63733 / 75282
↖ ↑ ↗
← S 25.844394°
W  4.952087°		 ← 274.88 m → S 25.844394°
W  4.949341°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 25.846865°
W  4.952087°		 ← 274.87 m →
75 548 m²		 S 25.846865°
W  4.949341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486248016357422 y=0.574359893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486248016357422 × 217)
    floor (0.486248016357422 × 131072)
    floor (63733.5)     		tx = 63733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574359893798828 × 217)
    floor (0.574359893798828 × 131072)
    floor (75282.5)     		ty = 75282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63733 / 75282 ti = "17/63733/75282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63733/75282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63733 ÷ 217
    63733 ÷ 131072     		x = 0.486244201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75282 ÷ 217
    75282 ÷ 131072     		y = 0.574356079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486244201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0275115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08643023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.148712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467193023697067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08643023} λ = -0.08643023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467193023697067))-π/2
    2×atan(0.626759099377152)-π/2
    2×0.559863285705405-π/2
    1.11972657141081-1.57079632675     		φ = -0.45106976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08643023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.952087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45106976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.844394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63733 KachelY 75282 -0.08643023 -0.45106976 -4.952087 -25.844394
    Oben rechts KachelX + 1 63734 KachelY 75282 -0.08638229 -0.45106976 -4.949341 -25.844394
    Unten links KachelX 63733 KachelY + 1 75283 -0.08643023 -0.45111290 -4.952087 -25.846865
    Unten rechts KachelX + 1 63734 KachelY + 1 75283 -0.08638229 -0.45111290 -4.949341 -25.846865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45106976--0.45111290) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45106976--0.45111290) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08643023--0.08638229) × cos(-0.45106976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899981278481969 × 6371000     		do = 274.87744796648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08643023--0.08638229) × cos(-0.45111290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.899962471686984 × 6371000     		du = 274.871703887205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45106976)-sin(-0.45111290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899981278481969-0.899962471686984)×R²
    abs(-0.08638229--0.08643023)×1.88067949855597e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88067949855597e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88067949855597e-05×40589641000000     		ar = 75547.8863398145m²