Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63733 / 75095
↖ ↑ ↗
← S 25.381254°
W  4.952087°		 ← 275.94 m → S 25.381254°
W  4.949341°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.383735°
W  4.952087°		 ← 275.94 m →
76 140 m²		 S 25.383735°
W  4.949341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486248016357422 y=0.572933197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486248016357422 × 217)
    floor (0.486248016357422 × 131072)
    floor (63733.5)     		tx = 63733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572933197021484 × 217)
    floor (0.572933197021484 × 131072)
    floor (75095.5)     		ty = 75095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63733 / 75095 ti = "17/63733/75095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63733/75095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63733 ÷ 217
    63733 ÷ 131072     		x = 0.486244201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75095 ÷ 217
    75095 ÷ 131072     		y = 0.572929382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486244201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0275115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08643023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572929382324219 × 2 - 1) × π
    -0.145858764648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.458228823468117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08643023} λ = -0.08643023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458228823468117))-π/2
    2×atan(0.632402751058996)-π/2
    2×0.563904939765489-π/2
    1.12780987953098-1.57079632675     		φ = -0.44298645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08643023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.952087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44298645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.381254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63733 KachelY 75095 -0.08643023 -0.44298645 -4.952087 -25.381254
    Oben rechts KachelX + 1 63734 KachelY 75095 -0.08638229 -0.44298645 -4.949341 -25.381254
    Unten links KachelX 63733 KachelY + 1 75096 -0.08643023 -0.44302976 -4.952087 -25.383735
    Unten rechts KachelX + 1 63734 KachelY + 1 75096 -0.08638229 -0.44302976 -4.949341 -25.383735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44298645--0.44302976) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44298645--0.44302976) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08643023--0.08638229) × cos(-0.44298645) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903475583511001 × 6371000     		do = 275.944698665758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08643023--0.08638229) × cos(-0.44302976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903457018284435 × 6371000     		du = 275.939028367696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44298645)-sin(-0.44302976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903475583511001-0.903457018284435)×R²
    abs(-0.08638229--0.08643023)×1.85652265666247e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85652265666247e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85652265666247e-05×40589641000000     		ar = 76140.0892877159m²