Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63731 / 75094
↖ ↑ ↗
← S 25.378772°
W  4.957580°		 ← 275.89 m → S 25.378772°
W  4.954834°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.381254°
W  4.957580°		 ← 275.89 m →
76 126 m²		 S 25.381254°
W  4.954834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486232757568359 y=0.572925567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486232757568359 × 217)
    floor (0.486232757568359 × 131072)
    floor (63731.5)     		tx = 63731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572925567626953 × 217)
    floor (0.572925567626953 × 131072)
    floor (75094.5)     		ty = 75094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63731 / 75094 ti = "17/63731/75094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63731/75094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63731 ÷ 217
    63731 ÷ 131072     		x = 0.486228942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75094 ÷ 217
    75094 ÷ 131072     		y = 0.572921752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486228942871094 × 2 - 1) × π
    -0.0275421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08652610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.145843505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458180886568497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08652610} λ = -0.08652610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458180886568497))-π/2
    2×atan(0.632433067212818)-π/2
    2×0.563926594897169-π/2
    1.12785318979434-1.57079632675     		φ = -0.44294314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08652610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.957580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44294314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.378772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63731 KachelY 75094 -0.08652610 -0.44294314 -4.957580 -25.378772
    Oben rechts KachelX + 1 63732 KachelY 75094 -0.08647817 -0.44294314 -4.954834 -25.378772
    Unten links KachelX 63731 KachelY + 1 75095 -0.08652610 -0.44298645 -4.957580 -25.381254
    Unten rechts KachelX + 1 63732 KachelY + 1 75095 -0.08647817 -0.44298645 -4.954834 -25.381254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44294314--0.44298645) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44294314--0.44298645) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08652610--0.08647817) × cos(-0.44294314) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903494147042868 × 6371000     		do = 275.892806834138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08652610--0.08647817) × cos(-0.44298645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903475583511001 × 6371000     		du = 275.887138236363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44294314)-sin(-0.44298645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903494147042868-0.903475583511001)×R²
    abs(-0.08647817--0.08652610)×1.85635318666888e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85635318666888e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85635318666888e-05×40589641000000     		ar = 76125.7711125132m²