Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63728 / 75280
↖ ↑ ↗
← S 25.839449°
W  4.965820°		 ← 274.83 m → S 25.839449°
W  4.963074°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 25.841921°
W  4.965820°		 ← 274.83 m →
75 535 m²		 S 25.841921°
W  4.963074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486209869384766 y=0.574344635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486209869384766 × 217)
    floor (0.486209869384766 × 131072)
    floor (63728.5)     		tx = 63728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574344635009766 × 217)
    floor (0.574344635009766 × 131072)
    floor (75280.5)     		ty = 75280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63728 / 75280 ti = "17/63728/75280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63728/75280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63728 ÷ 217
    63728 ÷ 131072     		x = 0.4862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75280 ÷ 217
    75280 ÷ 131072     		y = 0.5743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08666991} λ = -0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467097149897827))-π/2
    2×atan(0.626819192033827)-π/2
    2×0.559906428919215-π/2
    1.11981285783843-1.57079632675     		φ = -0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63728 KachelY 75280 -0.08666991 -0.45098347 -4.965820 -25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 63729 KachelY 75280 -0.08662198 -0.45098347 -4.963074 -25.839449
    Unten links KachelX 63728 KachelY + 1 75281 -0.08666991 -0.45102661 -4.965820 -25.841921
    Unten rechts KachelX + 1 63729 KachelY + 1 75281 -0.08662198 -0.45102661 -4.963074 -25.841921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45098347--0.45102661) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45098347--0.45102661) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08666991--0.08662198) × cos(-0.45098347) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 274.83159571799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08666991--0.08662198) × cos(-0.45102661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.900000087960933 × 6371000     		du = 274.825853859938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45098347)-sin(-0.45102661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.900000087960933)×R²
    abs(-0.08662198--0.08666991)×1.88034447247132e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88034447247132e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88034447247132e-05×40589641000000     		ar = 75535.2843866111m²