Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63725 / 75190
↖ ↑ ↗
← S 25.616763°
W  4.974060°		 ← 275.40 m → S 25.616763°
W  4.971314°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
S 25.619239°
W  4.974060°		 ← 275.40 m →
75 833 m²		 S 25.619239°
W  4.971314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486186981201172 y=0.573657989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486186981201172 × 217)
    floor (0.486186981201172 × 131072)
    floor (63725.5)     		tx = 63725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573657989501953 × 217)
    floor (0.573657989501953 × 131072)
    floor (75190.5)     		ty = 75190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63725 / 75190 ti = "17/63725/75190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63725/75190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63725 ÷ 217
    63725 ÷ 131072     		x = 0.486183166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75190 ÷ 217
    75190 ÷ 131072     		y = 0.573654174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486183166503906 × 2 - 1) × π
    -0.0276336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08681373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573654174804688 × 2 - 1) × π
    -0.147308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.462782828932022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08681373} λ = -0.08681373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462782828932022))-π/2
    2×atan(0.629529333221525)-π/2
    2×0.561849735746018-π/2
    1.12369947149204-1.57079632675     		φ = -0.44709686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08681373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.974060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44709686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.616763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63725 KachelY 75190 -0.08681373 -0.44709686 -4.974060 -25.616763
    Oben rechts KachelX + 1 63726 KachelY 75190 -0.08676579 -0.44709686 -4.971314 -25.616763
    Unten links KachelX 63725 KachelY + 1 75191 -0.08681373 -0.44714008 -4.974060 -25.619239
    Unten rechts KachelX + 1 63726 KachelY + 1 75191 -0.08676579 -0.44714008 -4.971314 -25.619239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44709686--0.44714008) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44709686--0.44714008) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08681373--0.08676579) × cos(-0.44709686) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.901706071838255 × 6371000     		do = 275.404244253751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08681373--0.08676579) × cos(-0.44714008) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.9016873848472 × 6371000     		du = 275.398536765679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44709686)-sin(-0.44714008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901706071838255-0.9016873848472)×R²
    abs(-0.08676579--0.08681373)×1.86869910552279e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.86869910552279e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.86869910552279e-05×40589641000000     		ar = 75833.0452431064m²