Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63723 / 75265
↖ ↑ ↗
← S 25.802364°
W  4.979553°		 ← 274.98 m → S 25.802364°
W  4.976807°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 25.804837°
W  4.979553°		 ← 274.97 m →
75 592 m²		 S 25.804837°
W  4.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486171722412109 y=0.574230194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486171722412109 × 217)
    floor (0.486171722412109 × 131072)
    floor (63723.5)     		tx = 63723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574230194091797 × 217)
    floor (0.574230194091797 × 131072)
    floor (75265.5)     		ty = 75265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63723 / 75265 ti = "17/63723/75265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63723/75265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63723 ÷ 217
    63723 ÷ 131072     		x = 0.486167907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75265 ÷ 217
    75265 ÷ 131072     		y = 0.574226379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486167907714844 × 2 - 1) × π
    -0.0276641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08690960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574226379394531 × 2 - 1) × π
    -0.148452758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.466378096403526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08690960} λ = -0.08690960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466378096403526))-π/2
    2×atan(0.627270070647649)-π/2
    2×0.560230060471619-π/2
    1.12046012094324-1.57079632675     		φ = -0.45033621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08690960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.979553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45033621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.802364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63723 KachelY 75265 -0.08690960 -0.45033621 -4.979553 -25.802364
    Oben rechts KachelX + 1 63724 KachelY 75265 -0.08686166 -0.45033621 -4.976807 -25.802364
    Unten links KachelX 63723 KachelY + 1 75266 -0.08690960 -0.45037936 -4.979553 -25.804837
    Unten rechts KachelX + 1 63724 KachelY + 1 75266 -0.08686166 -0.45037936 -4.976807 -25.804837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45033621--0.45037936) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45033621--0.45037936) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08690960--0.08686166) × cos(-0.45033621) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.900300811701216 × 6371000     		do = 274.975041636503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08690960--0.08686166) × cos(-0.45037936) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		du = 274.969304927733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45033621)-sin(-0.45037936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900300811701216-0.900282029038139)×R²
    abs(-0.08686166--0.08690960)×1.87826630769772e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.87826630769772e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.87826630769772e-05×40589641000000     		ar = 75592.2289563185m²