Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63722 / 75151
↖ ↑ ↗
← S 25.520136°
W  4.982300°		 ← 275.63 m → S 25.520136°
W  4.979553°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
S 25.522615°
W  4.982300°		 ← 275.62 m →
75 965 m²		 S 25.522615°
W  4.979553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486164093017578 y=0.573360443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486164093017578 × 217)
    floor (0.486164093017578 × 131072)
    floor (63722.5)     		tx = 63722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573360443115234 × 217)
    floor (0.573360443115234 × 131072)
    floor (75151.5)     		ty = 75151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63722 / 75151 ti = "17/63722/75151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63722/75151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63722 ÷ 217
    63722 ÷ 131072     		x = 0.486160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75151 ÷ 217
    75151 ÷ 131072     		y = 0.573356628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486160278320312 × 2 - 1) × π
    -0.027679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08695754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573356628417969 × 2 - 1) × π
    -0.146713256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.46091328984684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08695754} λ = -0.08695754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46091328984684))-π/2
    2×atan(0.630707363759199)-π/2
    2×0.562692963462998-π/2
    1.125385926926-1.57079632675     		φ = -0.44541040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08695754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44541040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.520136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63722 KachelY 75151 -0.08695754 -0.44541040 -4.982300 -25.520136
    Oben rechts KachelX + 1 63723 KachelY 75151 -0.08690960 -0.44541040 -4.979553 -25.520136
    Unten links KachelX 63722 KachelY + 1 75152 -0.08695754 -0.44545366 -4.982300 -25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 63723 KachelY + 1 75152 -0.08690960 -0.44545366 -4.979553 -25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44541040--0.44545366) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44541040--0.44545366) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08695754--0.08690960) × cos(-0.44541040) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90243392947449 × 6371000     		do = 275.626550710833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08695754--0.08690960) × cos(-0.44545366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 275.620858040627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44541040)-sin(-0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90243392947449-0.90241529099888)×R²
    abs(-0.08690960--0.08695754)×1.86384756103442e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86384756103442e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86384756103442e-05×40589641000000     		ar = 75964.5003380404m²