Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63721 / 75266
↖ ↑ ↗
← S 25.804837°
W  4.985046°		 ← 274.91 m → S 25.804837°
W  4.982300°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
S 25.807309°
W  4.985046°		 ← 274.91 m →
75 592 m²		 S 25.807309°
W  4.982300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486156463623047 y=0.574237823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486156463623047 × 217)
    floor (0.486156463623047 × 131072)
    floor (63721.5)     		tx = 63721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574237823486328 × 217)
    floor (0.574237823486328 × 131072)
    floor (75266.5)     		ty = 75266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63721 / 75266 ti = "17/63721/75266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63721/75266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63721 ÷ 217
    63721 ÷ 131072     		x = 0.486152648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75266 ÷ 217
    75266 ÷ 131072     		y = 0.574234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486152648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0276947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08700547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574234008789062 × 2 - 1) × π
    -0.148468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.466426033303146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08700547} λ = -0.08700547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466426033303146))-π/2
    2×atan(0.627240001985942)-π/2
    2×0.560208481881887-π/2
    1.12041696376377-1.57079632675     		φ = -0.45037936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08700547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.985046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45037936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.804837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63721 KachelY 75266 -0.08700547 -0.45037936 -4.985046 -25.804837
    Oben rechts KachelX + 1 63722 KachelY 75266 -0.08695754 -0.45037936 -4.982300 -25.804837
    Unten links KachelX 63721 KachelY + 1 75267 -0.08700547 -0.45042252 -4.985046 -25.807309
    Unten rechts KachelX + 1 63722 KachelY + 1 75267 -0.08695754 -0.45042252 -4.982300 -25.807309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45037936--0.45042252) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45037936--0.45042252) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08700547--0.08695754) × cos(-0.45037936) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		do = 274.911947959614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08700547--0.08695754) × cos(-0.45042252) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.900263240345347 × 6371000     		du = 274.906210606242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45037936)-sin(-0.45042252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900282029038139-0.900263240345347)×R²
    abs(-0.08695754--0.08700547)×1.87886927917047e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.87886927917047e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.87886927917047e-05×40589641000000     		ar = 75592.3983275549m²