Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63720 / 75271
↖ ↑ ↗
← S 25.817200°
W  4.987793°		 ← 274.94 m → S 25.817200°
W  4.985046°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 25.819672°
W  4.987793°		 ← 274.93 m →
75 583 m²		 S 25.819672°
W  4.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486148834228516 y=0.574275970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486148834228516 × 217)
    floor (0.486148834228516 × 131072)
    floor (63720.5)     		tx = 63720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574275970458984 × 217)
    floor (0.574275970458984 × 131072)
    floor (75271.5)     		ty = 75271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63720 / 75271 ti = "17/63720/75271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63720/75271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63720 ÷ 217
    63720 ÷ 131072     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75271 ÷ 217
    75271 ÷ 131072     		y = 0.574272155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574272155761719 × 2 - 1) × π
    -0.148544311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.466665717801247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466665717801247))-π/2
    2×atan(0.627089680296487)-π/2
    2×0.560100595688068-π/2
    1.12020119137614-1.57079632675     		φ = -0.45059514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45059514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.817200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63720 KachelY 75271 -0.08705341 -0.45059514 -4.987793 -25.817200
    Oben rechts KachelX + 1 63721 KachelY 75271 -0.08700547 -0.45059514 -4.985046 -25.817200
    Unten links KachelX 63720 KachelY + 1 75272 -0.08705341 -0.45063829 -4.987793 -25.819672
    Unten rechts KachelX + 1 63721 KachelY + 1 75272 -0.08700547 -0.45063829 -4.985046 -25.819672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45059514--0.45063829) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45059514--0.45063829) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.45059514) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900188077514583 × 6371000     		do = 274.940609714048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.45063829) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900169284793334 × 6371000     		du = 274.934869933254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45059514)-sin(-0.45063829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900188077514583-0.900169284793334)×R²
    abs(-0.08700547--0.08705341)×1.87927212496053e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87927212496053e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87927212496053e-05×40589641000000     		ar = 75582.762900654m²