Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63720 / 75270
↖ ↑ ↗
← S 25.814727°
W  4.987793°		 ← 274.95 m → S 25.814727°
W  4.985046°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
S 25.817200°
W  4.987793°		 ← 274.94 m →
75 602 m²		 S 25.817200°
W  4.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486148834228516 y=0.574268341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486148834228516 × 217)
    floor (0.486148834228516 × 131072)
    floor (63720.5)     		tx = 63720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574268341064453 × 217)
    floor (0.574268341064453 × 131072)
    floor (75270.5)     		ty = 75270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63720 / 75270 ti = "17/63720/75270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63720/75270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63720 ÷ 217
    63720 ÷ 131072     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75270 ÷ 217
    75270 ÷ 131072     		y = 0.574264526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.148529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466617780901627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466617780901627))-π/2
    2×atan(0.627119741752065)-π/2
    2×0.560122172026084-π/2
    1.12024434405217-1.57079632675     		φ = -0.45055198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45055198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.814727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63720 KachelY 75270 -0.08705341 -0.45055198 -4.987793 -25.814727
    Oben rechts KachelX + 1 63721 KachelY 75270 -0.08700547 -0.45055198 -4.985046 -25.814727
    Unten links KachelX 63720 KachelY + 1 75271 -0.08705341 -0.45059514 -4.987793 -25.817200
    Unten rechts KachelX + 1 63721 KachelY + 1 75271 -0.08700547 -0.45059514 -4.985046 -25.817200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45055198--0.45059514) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45055198--0.45059514) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.45055198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900206872914378 × 6371000     		do = 274.946350312939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.45059514) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900188077514583 × 6371000     		du = 274.940609714048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45055198)-sin(-0.45059514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900206872914378-0.900188077514583)×R²
    abs(-0.08700547--0.08705341)×1.87953997943247e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87953997943247e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87953997943247e-05×40589641000000     		ar = 75601.8575776024m²