Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63720 / 75128
↖ ↑ ↗
← S 25.463115°
W  4.987793°		 ← 275.76 m → S 25.463115°
W  4.985046°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
S 25.465595°
W  4.987793°		 ← 275.75 m →
76 036 m²		 S 25.465595°
W  4.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486148834228516 y=0.573184967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486148834228516 × 217)
    floor (0.486148834228516 × 131072)
    floor (63720.5)     		tx = 63720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573184967041016 × 217)
    floor (0.573184967041016 × 131072)
    floor (75128.5)     		ty = 75128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63720 / 75128 ti = "17/63720/75128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63720/75128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63720 ÷ 217
    63720 ÷ 131072     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75128 ÷ 217
    75128 ÷ 131072     		y = 0.57318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.459810741155579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459810741155579))-π/2
    2×atan(0.631403132826836)-π/2
    2×0.56319057022939-π/2
    1.12638114045878-1.57079632675     		φ = -0.44441519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44441519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.463115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63720 KachelY 75128 -0.08705341 -0.44441519 -4.987793 -25.463115
    Oben rechts KachelX + 1 63721 KachelY 75128 -0.08700547 -0.44441519 -4.985046 -25.463115
    Unten links KachelX 63720 KachelY + 1 75129 -0.08705341 -0.44445847 -4.987793 -25.465595
    Unten rechts KachelX + 1 63721 KachelY + 1 75129 -0.08700547 -0.44445847 -4.985046 -25.465595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44441519--0.44445847) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44441519--0.44445847) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.44441519) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902862247107108 × 6371000     		do = 275.75736994073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08700547) × cos(-0.44445847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902843638893233 × 6371000     		du = 275.751686513237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44441519)-sin(-0.44445847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902862247107108-0.902843638893233)×R²
    abs(-0.08700547--0.08705341)×1.86082138744492e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86082138744492e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86082138744492e-05×40589641000000     		ar = 76035.6932710057m²