Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63719 / 75274
↖ ↑ ↗
← S 25.824617°
W  4.990540°		 ← 274.92 m → S 25.824617°
W  4.987793°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 25.827089°
W  4.990540°		 ← 274.92 m →
75 578 m²		 S 25.827089°
W  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486141204833984 y=0.574298858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486141204833984 × 217)
    floor (0.486141204833984 × 131072)
    floor (63719.5)     		tx = 63719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574298858642578 × 217)
    floor (0.574298858642578 × 131072)
    floor (75274.5)     		ty = 75274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63719 / 75274 ti = "17/63719/75274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63719/75274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63719 ÷ 217
    63719 ÷ 131072     		x = 0.486137390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75274 ÷ 217
    75274 ÷ 131072     		y = 0.574295043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486137390136719 × 2 - 1) × π
    -0.0277252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08710135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.148590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.466809528500107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08710135} λ = -0.08710135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466809528500107))-π/2
    2×atan(0.626999504575587)-π/2
    2×0.560035869376756-π/2
    1.12007173875351-1.57079632675     		φ = -0.45072459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08710135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.990540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45072459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.824617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63719 KachelY 75274 -0.08710135 -0.45072459 -4.990540 -25.824617
    Oben rechts KachelX + 1 63720 KachelY 75274 -0.08705341 -0.45072459 -4.987793 -25.824617
    Unten links KachelX 63719 KachelY + 1 75275 -0.08710135 -0.45076774 -4.990540 -25.827089
    Unten rechts KachelX + 1 63720 KachelY + 1 75275 -0.08705341 -0.45076774 -4.987793 -25.827089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45072459--0.45076774) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45072459--0.45076774) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08710135--0.08705341) × cos(-0.45072459) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900131694322733 × 6371000     		do = 274.923388835953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08710135--0.08705341) × cos(-0.45076774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900112896573452 × 6371000     		du = 274.917647519469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45072459)-sin(-0.45076774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900131694322733-0.900112896573452)×R²
    abs(-0.08705341--0.08710135)×1.87977492810409e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87977492810409e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87977492810409e-05×40589641000000     		ar = 75578.0285213197m²