Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63719 / 75127
↖ ↑ ↗
← S 25.460635°
W  4.990540°		 ← 275.76 m → S 25.460635°
W  4.987793°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
S 25.463115°
W  4.990540°		 ← 275.76 m →
76 037 m²		 S 25.463115°
W  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486141204833984 y=0.573177337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486141204833984 × 217)
    floor (0.486141204833984 × 131072)
    floor (63719.5)     		tx = 63719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573177337646484 × 217)
    floor (0.573177337646484 × 131072)
    floor (75127.5)     		ty = 75127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63719 / 75127 ti = "17/63719/75127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63719/75127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63719 ÷ 217
    63719 ÷ 131072     		x = 0.486137390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75127 ÷ 217
    75127 ÷ 131072     		y = 0.573173522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486137390136719 × 2 - 1) × π
    -0.0277252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08710135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573173522949219 × 2 - 1) × π
    -0.146347045898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.459762804255959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08710135} λ = -0.08710135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459762804255959))-π/2
    2×atan(0.631433401060911)-π/2
    2×0.563212210660874-π/2
    1.12642442132175-1.57079632675     		φ = -0.44437191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08710135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.990540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44437191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.460635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63719 KachelY 75127 -0.08710135 -0.44437191 -4.990540 -25.460635
    Oben rechts KachelX + 1 63720 KachelY 75127 -0.08705341 -0.44437191 -4.987793 -25.460635
    Unten links KachelX 63719 KachelY + 1 75128 -0.08710135 -0.44441519 -4.990540 -25.463115
    Unten rechts KachelX + 1 63720 KachelY + 1 75128 -0.08705341 -0.44441519 -4.987793 -25.463115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44437191--0.44441519) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dl = 275.736880000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44437191--0.44441519) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dr = 275.736880000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08710135--0.08705341) × cos(-0.44437191) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902880853629778 × 6371000     		do = 275.763052851686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08710135--0.08705341) × cos(-0.44441519) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902862247107108 × 6371000     		du = 275.75736994073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44437191)-sin(-0.44441519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902880853629778-0.902862247107108)×R²
    abs(-0.08705341--0.08710135)×1.86065226706056e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86065226706056e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86065226706056e-05×40589641000000     		ar = 76037.2603304979m²