Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63716 / 75760
↖ ↑ ↗
← S 27.019984°
W  4.998779°		 ← 272.09 m → S 27.019984°
W  4.996033°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
S 27.022431°
W  4.998779°		 ← 272.08 m →
74 036 m²		 S 27.022431°
W  4.996033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486118316650391 y=0.578006744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486118316650391 × 217)
    floor (0.486118316650391 × 131072)
    floor (63716.5)     		tx = 63716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578006744384766 × 217)
    floor (0.578006744384766 × 131072)
    floor (75760.5)     		ty = 75760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63716 / 75760 ti = "17/63716/75760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63716/75760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63716 ÷ 217
    63716 ÷ 131072     		x = 0.486114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75760 ÷ 217
    75760 ÷ 131072     		y = 0.5780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.02777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08724516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08724516} λ = -0.08724516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490106861715454))-π/2
    2×atan(0.612560931374797)-π/2
    2×0.549604321015933-π/2
    1.09920864203187-1.57079632675     		φ = -0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08724516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63716 KachelY 75760 -0.08724516 -0.47158768 -4.998779 -27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 63717 KachelY 75760 -0.08719722 -0.47158768 -4.996033 -27.019984
    Unten links KachelX 63716 KachelY + 1 75761 -0.08724516 -0.47163039 -4.998779 -27.022431
    Unten rechts KachelX + 1 63717 KachelY + 1 75761 -0.08719722 -0.47163039 -4.996033 -27.022431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47158768--0.47163039) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47158768--0.47163039) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08724516--0.08719722) × cos(-0.47158768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 272.087948202648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08724516--0.08719722) × cos(-0.47163039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890828722281166 × 6371000     		du = 272.082021715959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47158768)-sin(-0.47163039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.890828722281166)×R²
    abs(-0.08719722--0.08724516)×1.94040184348099e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.94040184348099e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.94040184348099e-05×40589641000000     		ar = 74035.7963984045m²