Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63716 / 75164
↖ ↑ ↗
← S 25.552353°
W  4.998779°		 ← 275.55 m → S 25.552353°
W  4.996033°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.554832°
W  4.998779°		 ← 275.55 m →
75 927 m²		 S 25.554832°
W  4.996033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486118316650391 y=0.573459625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486118316650391 × 217)
    floor (0.486118316650391 × 131072)
    floor (63716.5)     		tx = 63716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573459625244141 × 217)
    floor (0.573459625244141 × 131072)
    floor (75164.5)     		ty = 75164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63716 / 75164 ti = "17/63716/75164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63716/75164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63716 ÷ 217
    63716 ÷ 131072     		x = 0.486114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75164 ÷ 217
    75164 ÷ 131072     		y = 0.573455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.02777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08724516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.14691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.461536469541901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08724516} λ = -0.08724516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.461536469541901))-π/2
    2×atan(0.63031444217967)-π/2
    2×0.562411811971256-π/2
    1.12482362394251-1.57079632675     		φ = -0.44597270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08724516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44597270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.552353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63716 KachelY 75164 -0.08724516 -0.44597270 -4.998779 -25.552353
    Oben rechts KachelX + 1 63717 KachelY 75164 -0.08719722 -0.44597270 -4.996033 -25.552353
    Unten links KachelX 63716 KachelY + 1 75165 -0.08724516 -0.44601595 -4.998779 -25.554832
    Unten rechts KachelX + 1 63717 KachelY + 1 75165 -0.08719722 -0.44601595 -4.996033 -25.554832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44597270--0.44601595) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44597270--0.44601595) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08724516--0.08719722) × cos(-0.44597270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902191532081608 × 6371000     		do = 275.552516307738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08724516--0.08719722) × cos(-0.44601595) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902172875971125 × 6371000     		du = 275.546818251388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44597270)-sin(-0.44601595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902191532081608-0.902172875971125)×R²
    abs(-0.08719722--0.08724516)×1.86561104830174e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86561104830174e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86561104830174e-05×40589641000000     		ar = 75926.5397445602m²