Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63714 / 75762
↖ ↑ ↗
← S 27.024877°
W  5.004272°		 ← 272.08 m → S 27.024877°
W  5.001526°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 27.027324°
W  5.004272°		 ← 272.07 m →
74 015 m²		 S 27.027324°
W  5.001526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486103057861328 y=0.578022003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486103057861328 × 217)
    floor (0.486103057861328 × 131072)
    floor (63714.5)     		tx = 63714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578022003173828 × 217)
    floor (0.578022003173828 × 131072)
    floor (75762.5)     		ty = 75762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63714 / 75762 ti = "17/63714/75762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63714/75762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63714 ÷ 217
    63714 ÷ 131072     		x = 0.486099243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75762 ÷ 217
    75762 ÷ 131072     		y = 0.578018188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486099243164062 × 2 - 1) × π
    -0.027801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08734103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578018188476562 × 2 - 1) × π
    -0.156036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.490202735514694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08734103} λ = -0.08734103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490202735514694))-π/2
    2×atan(0.612502205646215)-π/2
    2×0.549561617448878-π/2
    1.09912323489776-1.57079632675     		φ = -0.47167309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08734103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.004272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47167309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.024877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63714 KachelY 75762 -0.08734103 -0.47167309 -5.004272 -27.024877
    Oben rechts KachelX + 1 63715 KachelY 75762 -0.08729309 -0.47167309 -5.001526 -27.024877
    Unten links KachelX 63714 KachelY + 1 75763 -0.08734103 -0.47171579 -5.004272 -27.027324
    Unten rechts KachelX + 1 63715 KachelY + 1 75763 -0.08729309 -0.47171579 -5.001526 -27.027324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47167309--0.47171579) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47167309--0.47171579) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08734103--0.08729309) × cos(-0.47167309) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		do = 272.076096120738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08734103--0.08729309) × cos(-0.47171579) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.89078991845764 × 6371000     		du = 272.070170029443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47167309)-sin(-0.47171579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890809321181505-0.89078991845764)×R²
    abs(-0.08729309--0.08734103)×1.94027238650252e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.94027238650252e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.94027238650252e-05×40589641000000     		ar = 74015.2376572526m²