Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63714 / 75759
↖ ↑ ↗
← S 27.017537°
W  5.004272°		 ← 272.09 m → S 27.017537°
W  5.001526°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 27.019984°
W  5.004272°		 ← 272.09 m →
74 020 m²		 S 27.019984°
W  5.001526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486103057861328 y=0.577999114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486103057861328 × 217)
    floor (0.486103057861328 × 131072)
    floor (63714.5)     		tx = 63714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577999114990234 × 217)
    floor (0.577999114990234 × 131072)
    floor (75759.5)     		ty = 75759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63714 / 75759 ti = "17/63714/75759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63714/75759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63714 ÷ 217
    63714 ÷ 131072     		x = 0.486099243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75759 ÷ 217
    75759 ÷ 131072     		y = 0.577995300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486099243164062 × 2 - 1) × π
    -0.027801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08734103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577995300292969 × 2 - 1) × π
    -0.155990600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.490058924815834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08734103} λ = -0.08734103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490058924815834))-π/2
    2×atan(0.612590296350503)-π/2
    2×0.549625673496982-π/2
    1.09925134699396-1.57079632675     		φ = -0.47154498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08734103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.004272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47154498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.017537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63714 KachelY 75759 -0.08734103 -0.47154498 -5.004272 -27.017537
    Oben rechts KachelX + 1 63715 KachelY 75759 -0.08729309 -0.47154498 -5.001526 -27.017537
    Unten links KachelX 63714 KachelY + 1 75760 -0.08734103 -0.47158768 -5.004272 -27.019984
    Unten rechts KachelX + 1 63715 KachelY + 1 75760 -0.08729309 -0.47158768 -5.001526 -27.019984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47154498--0.47158768) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47154498--0.47158768) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08734103--0.08729309) × cos(-0.47154498) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890867524150368 × 6371000     		do = 272.093872805573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08734103--0.08729309) × cos(-0.47158768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		du = 272.087948202648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47154498)-sin(-0.47158768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890867524150368-0.890848126299601)×R²
    abs(-0.08729309--0.08734103)×1.9397850767322e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9397850767322e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9397850767322e-05×40589641000000     		ar = 74020.0738593475m²