Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63712 / 75488
↖ ↑ ↗
← S 26.352498°
W  5.009765°		 ← 273.63 m → S 26.352498°
W  5.007019°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 26.354959°
W  5.009765°		 ← 273.62 m →
74 891 m²		 S 26.354959°
W  5.007019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486087799072266 y=0.575931549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486087799072266 × 217)
    floor (0.486087799072266 × 131072)
    floor (63712.5)     		tx = 63712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575931549072266 × 217)
    floor (0.575931549072266 × 131072)
    floor (75488.5)     		ty = 75488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63712 / 75488 ti = "17/63712/75488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63712/75488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63712 ÷ 217
    63712 ÷ 131072     		x = 0.486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75488 ÷ 217
    75488 ÷ 131072     		y = 0.575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08743690} λ = -0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477068025018799))-π/2
    2×atan(0.620600311509664)-π/2
    2×0.555429236528787-π/2
    1.11085847305757-1.57079632675     		φ = -0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63712 KachelY 75488 -0.08743690 -0.45993785 -5.009765 -26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 63713 KachelY 75488 -0.08738897 -0.45993785 -5.007019 -26.352498
    Unten links KachelX 63712 KachelY + 1 75489 -0.08743690 -0.45998081 -5.009765 -26.354959
    Unten rechts KachelX + 1 63713 KachelY + 1 75489 -0.08738897 -0.45998081 -5.007019 -26.354959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45993785--0.45998081) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45993785--0.45998081) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08743690--0.08738897) × cos(-0.45993785) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 273.628834460756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08743690--0.08738897) × cos(-0.45998081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896061016724709 × 6371000     		du = 273.62301107093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45993785)-sin(-0.45998081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.896061016724709)×R²
    abs(-0.08738897--0.08743690)×1.90704450901968e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90704450901968e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90704450901968e-05×40589641000000     		ar = 74890.9116008553m²