Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63711 / 75246
↖ ↑ ↗
← S 25.755372°
W  5.012512°		 ← 275.08 m → S 25.755372°
W  5.009765°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.757846°
W  5.012512°		 ← 275.08 m →
75 657 m²		 S 25.757846°
W  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486080169677734 y=0.574085235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486080169677734 × 217)
    floor (0.486080169677734 × 131072)
    floor (63711.5)     		tx = 63711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574085235595703 × 217)
    floor (0.574085235595703 × 131072)
    floor (75246.5)     		ty = 75246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63711 / 75246 ti = "17/63711/75246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63711/75246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63711 ÷ 217
    63711 ÷ 131072     		x = 0.486076354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75246 ÷ 217
    75246 ÷ 131072     		y = 0.574081420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486076354980469 × 2 - 1) × π
    -0.0278472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08748484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.148162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465467295310745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08748484} λ = -0.08748484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465467295310745))-π/2
    2×atan(0.627841649171122)-π/2
    2×0.560640139189051-π/2
    1.1212802783781-1.57079632675     		φ = -0.44951605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08748484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.012512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44951605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.755372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63711 KachelY 75246 -0.08748484 -0.44951605 -5.012512 -25.755372
    Oben rechts KachelX + 1 63712 KachelY 75246 -0.08743690 -0.44951605 -5.009765 -25.755372
    Unten links KachelX 63711 KachelY + 1 75247 -0.08748484 -0.44955922 -5.012512 -25.757846
    Unten rechts KachelX + 1 63712 KachelY + 1 75247 -0.08743690 -0.44955922 -5.009765 -25.757846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44951605--0.44955922) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44951605--0.44955922) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08748484--0.08743690) × cos(-0.44951605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900657498468917 × 6371000     		do = 275.083982956397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08748484--0.08743690) × cos(-0.44955922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900638738982009 × 6371000     		du = 275.078253326226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44951605)-sin(-0.44955922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900657498468917-0.900638738982009)×R²
    abs(-0.08743690--0.08748484)×1.87594869079932e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87594869079932e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87594869079932e-05×40589641000000     		ar = 75657.2296764883m²