Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63711 / 75187
↖ ↑ ↗
← S 25.609333°
W  5.012512°		 ← 275.42 m → S 25.609333°
W  5.009765°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
S 25.611809°
W  5.012512°		 ← 275.42 m →
75 838 m²		 S 25.611809°
W  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486080169677734 y=0.573635101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486080169677734 × 217)
    floor (0.486080169677734 × 131072)
    floor (63711.5)     		tx = 63711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573635101318359 × 217)
    floor (0.573635101318359 × 131072)
    floor (75187.5)     		ty = 75187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63711 / 75187 ti = "17/63711/75187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63711/75187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63711 ÷ 217
    63711 ÷ 131072     		x = 0.486076354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75187 ÷ 217
    75187 ÷ 131072     		y = 0.573631286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486076354980469 × 2 - 1) × π
    -0.0278472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08748484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573631286621094 × 2 - 1) × π
    -0.147262573242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.462639018233162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08748484} λ = -0.08748484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462639018233162))-π/2
    2×atan(0.629619872785011)-π/2
    2×0.561914575251887-π/2
    1.12382915050377-1.57079632675     		φ = -0.44696718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08748484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.012512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44696718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.609333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63711 KachelY 75187 -0.08748484 -0.44696718 -5.012512 -25.609333
    Oben rechts KachelX + 1 63712 KachelY 75187 -0.08743690 -0.44696718 -5.009765 -25.609333
    Unten links KachelX 63711 KachelY + 1 75188 -0.08748484 -0.44701040 -5.012512 -25.611809
    Unten rechts KachelX + 1 63712 KachelY + 1 75188 -0.08743690 -0.44701040 -5.009765 -25.611809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44696718--0.44701040) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dl = 275.354619999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44696718--0.44701040) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dr = 275.354619999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08748484--0.08743690) × cos(-0.44696718) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901762131349783 × 6371000     		do = 275.421366271464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08748484--0.08743690) × cos(-0.44701040) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901743449412688 × 6371000     		du = 275.415660327002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44696718)-sin(-0.44701040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901762131349783-0.901743449412688)×R²
    abs(-0.08743690--0.08748484)×1.86819370956437e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86819370956437e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86819370956437e-05×40589641000000     		ar = 75837.7600821901m²