Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63709 / 75773
↖ ↑ ↗
← S 27.051787°
W  5.018006°		 ← 272.01 m → S 27.051787°
W  5.015259°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 27.054234°
W  5.018006°		 ← 272 m →
73 997 m²		 S 27.054234°
W  5.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486064910888672 y=0.578105926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486064910888672 × 217)
    floor (0.486064910888672 × 131072)
    floor (63709.5)     		tx = 63709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578105926513672 × 217)
    floor (0.578105926513672 × 131072)
    floor (75773.5)     		ty = 75773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63709 / 75773 ti = "17/63709/75773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63709/75773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63709 ÷ 217
    63709 ÷ 131072     		x = 0.486061096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75773 ÷ 217
    75773 ÷ 131072     		y = 0.578102111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486061096191406 × 2 - 1) × π
    -0.0278778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08758072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578102111816406 × 2 - 1) × π
    -0.156204223632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.490730041410515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08758072} λ = -0.08758072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490730041410515))-π/2
    2×atan(0.61217931476059)-π/2
    2×0.549326781088216-π/2
    1.09865356217643-1.57079632675     		φ = -0.47214276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08758072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.018006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47214276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.051787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63709 KachelY 75773 -0.08758072 -0.47214276 -5.018006 -27.051787
    Oben rechts KachelX + 1 63710 KachelY 75773 -0.08753278 -0.47214276 -5.015259 -27.051787
    Unten links KachelX 63709 KachelY + 1 75774 -0.08758072 -0.47218546 -5.018006 -27.054234
    Unten rechts KachelX + 1 63710 KachelY + 1 75774 -0.08753278 -0.47218546 -5.015259 -27.054234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47214276--0.47218546) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47214276--0.47218546) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08758072--0.08753278) × cos(-0.47214276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890595815539438 × 6371000     		do = 272.010886002016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08758072--0.08753278) × cos(-0.47218546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890576394952808 × 6371000     		du = 272.004954454973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47214276)-sin(-0.47218546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890595815539438-0.890576394952808)×R²
    abs(-0.08753278--0.08758072)×1.9420586629737e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9420586629737e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9420586629737e-05×40589641000000     		ar = 73997.4970436464m²