Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63708 / 75812
↖ ↑ ↗
← S 27.147145°
W  5.020752°		 ← 271.72 m → S 27.147145°
W  5.018006°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 27.149589°
W  5.020752°		 ← 271.72 m →
73 850 m²		 S 27.149589°
W  5.018006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486057281494141 y=0.578403472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486057281494141 × 217)
    floor (0.486057281494141 × 131072)
    floor (63708.5)     		tx = 63708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578403472900391 × 217)
    floor (0.578403472900391 × 131072)
    floor (75812.5)     		ty = 75812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63708 / 75812 ti = "17/63708/75812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63708/75812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63708 ÷ 217
    63708 ÷ 131072     		x = 0.486053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75812 ÷ 217
    75812 ÷ 131072     		y = 0.578399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.02789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08762865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.15679931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.492599580495697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08762865} λ = -0.08762865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492599580495697))-π/2
    2×atan(0.61103589077546)-π/2
    2×0.548494633451796-π/2
    1.09698926690359-1.57079632675     		φ = -0.47380706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08762865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47380706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.147145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63708 KachelY 75812 -0.08762865 -0.47380706 -5.020752 -27.147145
    Oben rechts KachelX + 1 63709 KachelY 75812 -0.08758072 -0.47380706 -5.018006 -27.147145
    Unten links KachelX 63708 KachelY + 1 75813 -0.08762865 -0.47384972 -5.020752 -27.149589
    Unten rechts KachelX + 1 63709 KachelY + 1 75813 -0.08758072 -0.47384972 -5.018006 -27.149589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47380706--0.47384972) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47380706--0.47384972) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47380706) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889837666042184 × 6371000     		do = 271.722636073112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47384972) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889818200445044 × 6371000     		du = 271.716692018855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47380706)-sin(-0.47384972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889837666042184-0.889818200445044)×R²
    abs(-0.08758072--0.08762865)×1.94655971398339e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94655971398339e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94655971398339e-05×40589641000000     		ar = 73849.8343024733m²