Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63708 / 75809
↖ ↑ ↗
← S 27.139813°
W  5.020752°		 ← 271.74 m → S 27.139813°
W  5.018006°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 27.142257°
W  5.020752°		 ← 271.73 m →
73 855 m²		 S 27.142257°
W  5.018006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486057281494141 y=0.578380584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486057281494141 × 217)
    floor (0.486057281494141 × 131072)
    floor (63708.5)     		tx = 63708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578380584716797 × 217)
    floor (0.578380584716797 × 131072)
    floor (75809.5)     		ty = 75809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63708 / 75809 ti = "17/63708/75809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63708/75809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63708 ÷ 217
    63708 ÷ 131072     		x = 0.486053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75809 ÷ 217
    75809 ÷ 131072     		y = 0.578376770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.02789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08762865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578376770019531 × 2 - 1) × π
    -0.156753540039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.492455769796837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08762865} λ = -0.08762865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492455769796837))-π/2
    2×atan(0.611123770592818)-π/2
    2×0.548558619639223-π/2
    1.09711723927845-1.57079632675     		φ = -0.47367909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08762865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47367909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.139813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63708 KachelY 75809 -0.08762865 -0.47367909 -5.020752 -27.139813
    Oben rechts KachelX + 1 63709 KachelY 75809 -0.08758072 -0.47367909 -5.018006 -27.139813
    Unten links KachelX 63708 KachelY + 1 75810 -0.08762865 -0.47372175 -5.020752 -27.142257
    Unten rechts KachelX + 1 63709 KachelY + 1 75810 -0.08758072 -0.47372175 -5.018006 -27.142257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47367909--0.47372175) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47367909--0.47372175) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47367909) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889896048555465 × 6371000     		do = 271.740463875884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47372175) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889876587816233 × 6371000     		du = 271.734521305047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47367909)-sin(-0.47372175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889896048555465-0.889876587816233)×R²
    abs(-0.08758072--0.08762865)×1.9460739231536e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9460739231536e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9460739231536e-05×40589641000000     		ar = 73854.6798666143m²