Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63708 / 75804
↖ ↑ ↗
← S 27.127591°
W  5.020752°		 ← 271.77 m → S 27.127591°
W  5.018006°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 27.130035°
W  5.020752°		 ← 271.76 m →
73 863 m²		 S 27.130035°
W  5.018006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486057281494141 y=0.578342437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486057281494141 × 217)
    floor (0.486057281494141 × 131072)
    floor (63708.5)     		tx = 63708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578342437744141 × 217)
    floor (0.578342437744141 × 131072)
    floor (75804.5)     		ty = 75804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63708 / 75804 ti = "17/63708/75804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63708/75804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63708 ÷ 217
    63708 ÷ 131072     		x = 0.486053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75804 ÷ 217
    75804 ÷ 131072     		y = 0.578338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.02789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08762865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.15667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.492216085298737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08762865} λ = -0.08762865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492216085298737))-π/2
    2×atan(0.611270265042573)-π/2
    2×0.548665272612791-π/2
    1.09733054522558-1.57079632675     		φ = -0.47346578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08762865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47346578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.127591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63708 KachelY 75804 -0.08762865 -0.47346578 -5.020752 -27.127591
    Oben rechts KachelX + 1 63709 KachelY 75804 -0.08758072 -0.47346578 -5.018006 -27.127591
    Unten links KachelX 63708 KachelY + 1 75805 -0.08762865 -0.47350844 -5.020752 -27.130035
    Unten rechts KachelX + 1 63709 KachelY + 1 75805 -0.08758072 -0.47350844 -5.018006 -27.130035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47346578--0.47350844) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47346578--0.47350844) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47346578) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889993332518149 × 6371000     		do = 271.770170704216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08762865--0.08758072) × cos(-0.47350844) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889973879877151 × 6371000     		du = 271.764230606272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47346578)-sin(-0.47350844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889993332518149-0.889973879877151)×R²
    abs(-0.08758072--0.08762865)×1.94526409972307e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94526409972307e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94526409972307e-05×40589641000000     		ar = 73862.7541282862m²