Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63706 / 75817
↖ ↑ ↗
← S 27.159364°
W  5.026245°		 ← 271.75 m → S 27.159364°
W  5.023499°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
S 27.161808°
W  5.026245°		 ← 271.74 m →
73 840 m²		 S 27.161808°
W  5.023499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486042022705078 y=0.578441619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486042022705078 × 217)
    floor (0.486042022705078 × 131072)
    floor (63706.5)     		tx = 63706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578441619873047 × 217)
    floor (0.578441619873047 × 131072)
    floor (75817.5)     		ty = 75817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63706 / 75817 ti = "17/63706/75817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63706/75817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63706 ÷ 217
    63706 ÷ 131072     		x = 0.486038208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75817 ÷ 217
    75817 ÷ 131072     		y = 0.578437805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486038208007812 × 2 - 1) × π
    -0.027923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08772453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578437805175781 × 2 - 1) × π
    -0.156875610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.492839264993797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08772453} λ = -0.08772453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492839264993797))-π/2
    2×atan(0.610889452494852)-π/2
    2×0.548387999136419-π/2
    1.09677599827284-1.57079632675     		φ = -0.47402033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08772453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.026245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47402033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.159364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63706 KachelY 75817 -0.08772453 -0.47402033 -5.026245 -27.159364
    Oben rechts KachelX + 1 63707 KachelY 75817 -0.08767659 -0.47402033 -5.023499 -27.159364
    Unten links KachelX 63706 KachelY + 1 75818 -0.08772453 -0.47406298 -5.026245 -27.161808
    Unten rechts KachelX + 1 63707 KachelY + 1 75818 -0.08767659 -0.47406298 -5.023499 -27.161808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47402033--0.47406298) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dl = 271.72315000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47402033--0.47406298) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dr = 271.72315000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08772453--0.08767659) × cos(-0.47402033) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889740335557266 × 6371000     		do = 271.749600395405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08772453--0.08767659) × cos(-0.47406298) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889720866429877 × 6371000     		du = 271.743654022765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47402033)-sin(-0.47406298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889740335557266-0.889720866429877)×R²
    abs(-0.08767659--0.08772453)×1.946912738926e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.946912738926e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.946912738926e-05×40589641000000     		ar = 73839.8495583656m²