Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63704 / 75807
↖ ↑ ↗
← S 27.134924°
W  5.031738°		 ← 271.81 m → S 27.134924°
W  5.028992°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 27.137368°
W  5.031738°		 ← 271.80 m →
73 873 m²		 S 27.137368°
W  5.028992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486026763916016 y=0.578365325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486026763916016 × 217)
    floor (0.486026763916016 × 131072)
    floor (63704.5)     		tx = 63704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578365325927734 × 217)
    floor (0.578365325927734 × 131072)
    floor (75807.5)     		ty = 75807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63704 / 75807 ti = "17/63704/75807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63704/75807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63704 ÷ 217
    63704 ÷ 131072     		x = 0.48602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75807 ÷ 217
    75807 ÷ 131072     		y = 0.578361511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08782040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578361511230469 × 2 - 1) × π
    -0.156723022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.492359895997597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08782040} λ = -0.08782040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492359895997597))-π/2
    2×atan(0.61118236415926)-π/2
    2×0.548601279429615-π/2
    1.09720255885923-1.57079632675     		φ = -0.47359377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08782040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47359377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.134924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63704 KachelY 75807 -0.08782040 -0.47359377 -5.031738 -27.134924
    Oben rechts KachelX + 1 63705 KachelY 75807 -0.08777246 -0.47359377 -5.028992 -27.134924
    Unten links KachelX 63704 KachelY + 1 75808 -0.08782040 -0.47363643 -5.031738 -27.137368
    Unten rechts KachelX + 1 63705 KachelY + 1 75808 -0.08777246 -0.47363643 -5.028992 -27.137368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47359377--0.47363643) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47359377--0.47363643) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08782040--0.08777246) × cos(-0.47359377) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.889934965175393 × 6371000     		do = 271.809045290626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08782040--0.08777246) × cos(-0.47363643) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.889915507675197 × 6371000     		du = 271.80310246923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47359377)-sin(-0.47363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889934965175393-0.889915507675197)×R²
    abs(-0.08777246--0.08782040)×1.94575001959407e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.94575001959407e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.94575001959407e-05×40589641000000     		ar = 73873.3193599495m²