Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63701 / 75851
↖ ↑ ↗
← S 27.242421°
W  5.039978°		 ← 271.55 m → S 27.242421°
W  5.037231°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
S 27.244863°
W  5.039978°		 ← 271.54 m →
73 733 m²		 S 27.244863°
W  5.037231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486003875732422 y=0.578701019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486003875732422 × 217)
    floor (0.486003875732422 × 131072)
    floor (63701.5)     		tx = 63701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578701019287109 × 217)
    floor (0.578701019287109 × 131072)
    floor (75851.5)     		ty = 75851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63701 / 75851 ti = "17/63701/75851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63701/75851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63701 ÷ 217
    63701 ÷ 131072     		x = 0.486000061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75851 ÷ 217
    75851 ÷ 131072     		y = 0.578697204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486000061035156 × 2 - 1) × π
    -0.0279998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08796421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578697204589844 × 2 - 1) × π
    -0.157394409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.494469119580879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08796421} λ = -0.08796421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494469119580879))-π/2
    2×atan(0.609894602469171)-π/2
    2×0.547663195357572-π/2
    1.09532639071514-1.57079632675     		φ = -0.47546994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08796421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.039978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47546994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.242421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63701 KachelY 75851 -0.08796421 -0.47546994 -5.039978 -27.242421
    Oben rechts KachelX + 1 63702 KachelY 75851 -0.08791627 -0.47546994 -5.037231 -27.242421
    Unten links KachelX 63701 KachelY + 1 75852 -0.08796421 -0.47551256 -5.039978 -27.244863
    Unten rechts KachelX + 1 63702 KachelY + 1 75852 -0.08791627 -0.47551256 -5.037231 -27.244863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47546994--0.47551256) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47546994--0.47551256) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08796421--0.08791627) × cos(-0.47546994) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889077701803909 × 6371000     		do = 271.547214990937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08796421--0.08791627) × cos(-0.47551256) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889058191422456 × 6371000     		du = 271.541256018244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47546994)-sin(-0.47551256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889077701803909-0.889058191422456)×R²
    abs(-0.08791627--0.08796421)×1.95103814529807e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.95103814529807e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.95103814529807e-05×40589641000000     		ar = 73732.9547970769m²