Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63700 / 75752
↖ ↑ ↗
← S 27.000408°
W  5.042725°		 ← 272.14 m → S 27.000408°
W  5.039978°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
S 27.002855°
W  5.042725°		 ← 272.13 m →
74 049 m²		 S 27.002855°
W  5.039978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485996246337891 y=0.577945709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485996246337891 × 217)
    floor (0.485996246337891 × 131072)
    floor (63700.5)     		tx = 63700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577945709228516 × 217)
    floor (0.577945709228516 × 131072)
    floor (75752.5)     		ty = 75752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63700 / 75752 ti = "17/63700/75752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63700/75752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63700 ÷ 217
    63700 ÷ 131072     		x = 0.485992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75752 ÷ 217
    75752 ÷ 131072     		y = 0.57794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.02801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08801215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.489723366518494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08801215} λ = -0.08801215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.489723366518494))-π/2
    2×atan(0.612795890599813)-π/2
    2×0.549775153882043-π/2
    1.09955030776409-1.57079632675     		φ = -0.47124602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08801215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.042725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47124602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.000408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63700 KachelY 75752 -0.08801215 -0.47124602 -5.042725 -27.000408
    Oben rechts KachelX + 1 63701 KachelY 75752 -0.08796421 -0.47124602 -5.039978 -27.000408
    Unten links KachelX 63700 KachelY + 1 75753 -0.08801215 -0.47128873 -5.042725 -27.002855
    Unten rechts KachelX + 1 63701 KachelY + 1 75753 -0.08796421 -0.47128873 -5.039978 -27.002855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47124602--0.47128873) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47124602--0.47128873) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08801215--0.08796421) × cos(-0.47124602) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.891003290862896 × 6371000     		do = 272.135339454214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08801215--0.08796421) × cos(-0.47128873) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890983899844974 × 6371000     		du = 272.129416938216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47124602)-sin(-0.47128873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891003290862896-0.890983899844974)×R²
    abs(-0.08796421--0.08801215)×1.93910179221435e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93910179221435e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93910179221435e-05×40589641000000     		ar = 74048.6923546426m²