Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 637 / 157
↖ ↑ ↗
← N 77.078784°
E 43.945312°		 ← 8 741.41 m → N 77.078784°
E 44.296875°		 →
↑
8 767.58 m
↓
↑
8 767.58 m
↓
N 76.999935°
E 43.945312°		 ← 8 793.83 m →
76 870 802 m²		 N 76.999935°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62255859375 y=0.15380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62255859375 × 210)
    floor (0.62255859375 × 1024)
    floor (637.5)     		tx = 637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15380859375 × 210)
    floor (0.15380859375 × 1024)
    floor (157.5)     		ty = 157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 637 / 157 ti = "10/637/157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/637/157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 637 ÷ 210
    637 ÷ 1024     		x = 0.6220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 157 ÷ 210
    157 ÷ 1024     		y = 0.1533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    0.693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76699039} λ = 0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17825271873535))-π/2
    2×atan(8.83086276952242)-π/2
    2×1.45803744460186-π/2
    2.91607488920371-1.57079632675     		φ = 1.34527856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34527856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.078784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 637 KachelY 157 0.76699039 1.34527856 43.945312 77.078784
    Oben rechts KachelX + 1 638 KachelY 157 0.77312632 1.34527856 44.296875 77.078784
    Unten links KachelX 637 KachelY + 1 158 0.76699039 1.34390239 43.945312 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 638 KachelY + 1 158 0.77312632 1.34390239 44.296875 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34527856-1.34390239) × R
    0.0013761699999999 × 6371000     		dl = 8767.57906999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34527856-1.34390239) × R
    0.0013761699999999 × 6371000     		dr = 8767.57906999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76699039-0.77312632) × cos(1.34527856) × R
    0.00613593000000001 × 0.223611048224246 × 6371000     		do = 8741.40534000105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76699039-0.77312632) × cos(1.34390239) × R
    0.00613593000000001 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 8793.83206817675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34527856)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223611048224246-0.224952159314094)×R²
    abs(0.77312632-0.76699039)×0.00134111108984833×R²
    0.00613593000000001×0.00134111108984833×6371000²
    0.00613593000000001×0.00134111108984833×40589641000000     		ar = 76870802.3754797m²