Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63696 / 75183
↖ ↑ ↗
← S 25.599425°
W  5.053711°		 ← 275.44 m → S 25.599425°
W  5.050964°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
S 25.601902°
W  5.053711°		 ← 275.44 m →
75 862 m²		 S 25.601902°
W  5.050964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485965728759766 y=0.573604583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485965728759766 × 217)
    floor (0.485965728759766 × 131072)
    floor (63696.5)     		tx = 63696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573604583740234 × 217)
    floor (0.573604583740234 × 131072)
    floor (75183.5)     		ty = 75183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63696 / 75183 ti = "17/63696/75183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63696/75183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63696 ÷ 217
    63696 ÷ 131072     		x = 0.4859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75183 ÷ 217
    75183 ÷ 131072     		y = 0.573600769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573600769042969 × 2 - 1) × π
    -0.147201538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.462447270634682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08820390} λ = -0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462447270634682))-π/2
    2×atan(0.629740612458975)-π/2
    2×0.562001034195944-π/2
    1.12400206839189-1.57079632675     		φ = -0.44679426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44679426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.599425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63696 KachelY 75183 -0.08820390 -0.44679426 -5.053711 -25.599425
    Oben rechts KachelX + 1 63697 KachelY 75183 -0.08815596 -0.44679426 -5.050964 -25.599425
    Unten links KachelX 63696 KachelY + 1 75184 -0.08820390 -0.44683749 -5.053711 -25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 63697 KachelY + 1 75184 -0.08815596 -0.44683749 -5.050964 -25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44679426--0.44683749) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44679426--0.44683749) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08820390--0.08815596) × cos(-0.44679426) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901836859536254 × 6371000     		do = 275.444190183115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08820390--0.08815596) × cos(-0.44683749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 275.438484977314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44679426)-sin(-0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901836859536254-0.901818180017623)×R²
    abs(-0.08815596--0.08820390)×1.8679518631437e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8679518631437e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8679518631437e-05×40589641000000     		ar = 75861.5932210962m²