Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63693 / 75781
↖ ↑ ↗
← S 27.071355°
W  5.061951°		 ← 271.96 m → S 27.071355°
W  5.059204°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
S 27.073801°
W  5.061951°		 ← 271.96 m →
73 967 m²		 S 27.073801°
W  5.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485942840576172 y=0.578166961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485942840576172 × 217)
    floor (0.485942840576172 × 131072)
    floor (63693.5)     		tx = 63693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578166961669922 × 217)
    floor (0.578166961669922 × 131072)
    floor (75781.5)     		ty = 75781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63693 / 75781 ti = "17/63693/75781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63693/75781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63693 ÷ 217
    63693 ÷ 131072     		x = 0.485939025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75781 ÷ 217
    75781 ÷ 131072     		y = 0.578163146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485939025878906 × 2 - 1) × π
    -0.0281219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08834771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578163146972656 × 2 - 1) × π
    -0.156326293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.491113536607475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08834771} λ = -0.08834771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491113536607475))-π/2
    2×atan(0.611944591944114)-π/2
    2×0.549156026374357-π/2
    1.09831205274871-1.57079632675     		φ = -0.47248427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08834771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.061951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47248427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.071355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63693 KachelY 75781 -0.08834771 -0.47248427 -5.061951 -27.071355
    Oben rechts KachelX + 1 63694 KachelY 75781 -0.08829977 -0.47248427 -5.059204 -27.071355
    Unten links KachelX 63693 KachelY + 1 75782 -0.08834771 -0.47252696 -5.061951 -27.073801
    Unten rechts KachelX + 1 63694 KachelY + 1 75782 -0.08829977 -0.47252696 -5.059204 -27.073801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47248427--0.47252696) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47248427--0.47252696) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08834771--0.08829977) × cos(-0.47248427) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890440446341555 × 6371000     		do = 271.963432249779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08834771--0.08829977) × cos(-0.47252696) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890421017320484 × 6371000     		du = 271.957498126641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47248427)-sin(-0.47252696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890440446341555-0.890421017320484)×R²
    abs(-0.08829977--0.08834771)×1.94290210704384e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.94290210704384e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.94290210704384e-05×40589641000000     		ar = 73967.2606926251m²